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    譜配置點法和Lobatto IIIA方法求解一維熱傳導(dǎo)方程

    2013-08-13 09:38:44王佩臣宋玉琦郭巧棟張可為田國華
    關(guān)鍵詞:六階熱傳導(dǎo)曲線圖

    王佩臣,宋玉琦,郭巧棟,張可為,田國華

    (1.黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系,黑龍江 哈爾濱150050;2.哈爾濱醫(yī)科大學(xué),黑龍江 哈爾濱150001)

    1 方程簡介

    考慮下面熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題:

    其中:ψ1(t)、ψ2(t)、f u,x,()t和φ()x為已知函數(shù)。

    熱傳導(dǎo)方程的解具有將初始溫度平滑化的特質(zhì),描述熱從高溫處向低溫處傳播,求解熱傳導(dǎo)方程是一個很重要的任務(wù)。對熱傳導(dǎo)方程通常用分離變量法[1]求得精確解;文獻[2]用半離散差分格式數(shù)值求解一維熱傳導(dǎo)方程;本文組合譜配置點法[3-5]和 Lobatto IIIA 方 法[6-9]求 解 一 維 熱 傳 導(dǎo) 方程,具有計算精度高和穩(wěn)定性好等特點。

    2 譜配置點法及微分矩陣

    以xi為節(jié)點的Lagrange插值多項式為

    這里D=(Dkm)為(N+1)×(N+1)矩陣,進一步,再對pN(x)求二階導(dǎo)數(shù),得

    3 Lobatto IIIA方法

    考慮下面初值問題:

    其中B是m×m矩陣,m為正整數(shù)。

    本文使用下面迭代過程

    系數(shù)用下面Butcher’s矩陣表示

    對式(11)第二個式子移項得

    HK=b,解這個方程組就能得到向量ki,i=1,2,…,q,進一步可循環(huán)求解yn+1,用遞推的方式就能得到式(10)的解。本文的數(shù)值計算取文獻[6]中的Butcher’s矩陣,q=4,如下

    4 譜配置點法求解一維熱傳導(dǎo)方程

    方程(1)在x=xk,k=1,…,N-1精確表示為

    由第1部分譜配置點法可得式(13)等價于

    使用第2部分的Lobatto IIIA方法求解邊界條件(16)的常微分方程(15)就能得出原方程的解。

    5 數(shù)值實例

    初始條件為

    圖1為方程(17)在t=1時精確解曲線圖,圖2為方程(17)取h=0.01、N=10、t=1時的數(shù)值解曲線圖,圖3為方程(17)取h=0.01、N=10、t=1時的誤差曲線圖。

    6 結(jié)束語

    本文組合使用配點法和六階Lobatto IIIA方法求解一維熱傳導(dǎo)方程,首先使用配點法離散空間導(dǎo)數(shù),然后用六階Lobatto IIIA方法求線性解常微分方程組,通過數(shù)值測試實例,說明提出的方法有很高的精度和強穩(wěn)定性,還可以用這個方法求解其他時間依賴問題。

    [1]姜禮尚,陳亞浙,劉西垣,等.數(shù)學(xué)物理方程講義[M].北京:高等教育出版社,2003.

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