“二面角”向量法求解攻略

☉廣東省東莞市塘廈中學(xué) 廖廷維

立體幾何是歷年各省市高考必考點之一，命題視角以二面角為主.空間向量的引入為二面角的求解開辟了捷徑，下面就應(yīng)用向量求二面角問題舉列說明.

題目：如圖1，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

圖1

（1）證明：BC⊥平面PBD；

（2）求二面角D－PC－B的余弦值.

（3）在PC上是否存在點Q使得二面角Q－BD－P為45°，若存在請確定點Q的位置，若不存在請說明理由.

攻略1 利用現(xiàn)有垂直關(guān)系建立空間坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系的建立原則：充分利用已知和隱含的垂直關(guān)系，除本題中的墻角關(guān)系外，常涉及到的垂直關(guān)系還有：菱形的對角線互相垂直；等腰三角形的三線合一；勾股定理的逆定理等.

（1）證明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PBD.

圖2

另外，BC與BD的垂直關(guān)系也可由勾股定理的逆定理，即BC2+BD2=CD2得到.

攻略2 法向量的求解：先找再求

二面角的求解可直接轉(zhuǎn)化為兩個平面法向量的夾角問題，這就需要求出兩個平面的法向量，命題人常隱含給出一個平面的垂直線段，進(jìn)而可視為法向量.另一個平面的法向量則需要我們根據(jù)法向量的定義求解.即找一個法向量，求一個法向量.如本題（2）中平面PCD的法向量可直接利用.

（2）解：由已知，DA⊥平面PCD，所以（1，0，0）為平面PCD的一個法向量.

攻略3 二面角余弦值的正負(fù)判斷，可結(jié)合法向量的方向性

設(shè)n1、n2為二面角α-l-β的面α、β的法向量，則二面角α-l-β的大小等于法向量n1、n2的夾角〈n1，n2〉或夾角的補角.本題（2）中較易判斷出所求二面角為銳角，但很多問題中并不容易判斷.那么，什么時候相等，什么時候互補呢？直接觀察是銳角還是鈍角，這種方向缺乏嚴(yán)密性，且容易出錯，而向量具有在不改變方向下的自由移動的性質(zhì)，就能輕松地解決這一問題.

如圖3：若PA⊥α于A，PB⊥β于B，平面PAB交l于E，則∠AEB為二面角α-l-β的平面角，∠AEB+∠APB=π.設(shè)n1、n2是二面角的法向量.

圖3

圖4

（1）當(dāng)法向量n1與n2的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于法向量n1、n2的夾角〈n1，n2〉.

（2）當(dāng)法向量n1與n2的方向同時指向二面角內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于法向量n1、n2的夾角〈n1，n2〉的補角.

判斷方法：將平面β的法向量n2在不改變方向的基礎(chǔ)上移到起點為原點處，如圖4，可判斷n2指向二面角內(nèi)側(cè)，而n2′則指向二面角的外側(cè)，用同樣的方向可以確定另一個平面的法向量的指向，從而確定法向量的夾角是不是二面角.

攻略4 線段上點的存在性問題，引入向量平行關(guān)系的設(shè)問方法

線段PC上是否存在點P滿足條件……此類問題可假設(shè)滿足條件的點存在，為減少變量的引入，可將條件設(shè)為PQ=λPC，運用已知條件求λ，如果0≤λ≤1，則點Q存在，如果λ＞1，則點Q不存在.

圖5

注意到λ∈（0，1），得λ=-1.

向量是一種解題工具，它給予我們新的思維視角、新的思想方法，更重要的是它能夠大大簡化思維過程、降低運算量，這不正是在新課程改革下學(xué)生最需要的“解題武器”嗎？其實，能妙用向量法解的題型遠(yuǎn)不止筆者所舉的這些例子，比如三角函數(shù)、正余弦定理公式、線段定比分點公式等都可以借助向量為工具進(jìn)行推導(dǎo)和證明.因此，教師在平時教學(xué)中若能經(jīng)常灌輸妙用向量法解題，相信會有更多的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué).