如何探究更自然——兩節(jié)同課異構課有感

☉浙江省紹興魯迅中學 章顯聯(lián)

新《普通高中數(shù)學課程標準》的基本概念有10個部分，其中在第3部分倡導積極主動，勇于探索的學習方式中強調高中數(shù)學課程應力求通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，發(fā)展他們自主創(chuàng)新意識.紹興市數(shù)學骨干教師培訓期間安排了兩節(jié)同課異構的課，課題是《圓的標準方程》，筆者有幸聽了兩節(jié)精彩的課，頗有收獲，兩位教師在教學中體現(xiàn)了先進正確的教學理念：“以學生為本”、“問題引導學習”、“教與學重心前移”、“教會學生數(shù)學地思維”、“改進教學方式”、“促進學生主動，探究學習”等.但由于準備時間倉促，兩節(jié)課中或多或少有些不自然，那么如何探究更自然呢？下面結合教學實例談一下自己對這個問題粗淺的認識.

一、在理解教材，理解數(shù)學，理解學生上多下功夫

兩位教師的引課方式如下：

教師1：

問題1：如何判斷兩直線平行？叫了5位學生回答，有用平面幾何知識，也有通過直線方程判斷.

問題2：共同回顧求直線方程的主要過程.

兩個問題共花費了近20分鐘時間，后繼學習肯定時間不夠.

教師2：已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛入這個隧道？

創(chuàng)設“探究”的問題情境，首先是問題要典型，要有思想.其次是問題的設計要結合學生認知規(guī)律.按照這兩條原則.教師1的問題1是否可以這樣，利用幾何畫板畫兩條不重合直線，問學生這兩條直線平行嗎？追問學生憑什么說它們平行（或不平行）？從而引出結論：α1=α2?l1∥l2.再追問還有其他的方法嗎？從而引出結論：k1=k2?l1∥l2，這樣學生共同回顧從代數(shù)（斜率）與幾何（傾斜角）兩個角度研究兩直線的平行，而這正是解析幾何研究的兩條主線；問題2沒必要此時拋出，若學生在研究圓的方程有困難時可引導學生復習研究直線方程的方法.

教師2通過引導學生對這個實際問題的探究，把學生的思維由用勾股定理求線段CD的長度轉移為用曲線的方程來解決，在得到汽車不能通過的結論的同時學生自己推導出了圓心在原點，半徑為4的圓的標準方程，從而很自然的進入了本課的主題.用實際問題創(chuàng)設問題情境，讓學生感受到問題來源于實際，應用于實際，激發(fā)了學生的學習興趣和學習欲望.這樣獲取的知識，不但易于保持，而且易于遷移.該引入符合學生的認知規(guī)律，激發(fā)了學生的探究問題的欲望，思維達到了一定的高度和深度.但解析幾何的本質是用代數(shù)方法解決幾何問題：也就是建立直角坐標系，在坐標系中把一個幾何問題轉化為一個代數(shù)問題，利用點的坐標，曲線的方程，經(jīng)過代數(shù)運算來解決問題，這就是坐標系的思想.另外本節(jié)還應讓學生明白這樣建立的方程為什么是圓的方程，因此本節(jié)的核心思想是坐標法的思想，核心概念是圓的標準方程.

筆者深刻理解了本節(jié)以上的核心概念和思想后，采用了以下直奔主題的引入：同學們，前面我們在平面直角坐標系中是怎樣研究直線的方程？那么圓是否也可以用一個方程來表示呢？如果能，這個方程有什么特征？

按照奧蘇伯爾的觀點，“先行組織者”有其嚴格的定義，即在正式材料學習之前，向學生介紹的與其原有的認知結構中適當?shù)闹R相聯(lián)系的概括和包攝性引導材料，它在抽象、概括和包攝水平上應高于正式的學習材料，并用學生熟悉的術語呈現(xiàn)，即先于新學習材料呈現(xiàn)的一種引導性材料，設計“組織者”的目的，是幫助學生穩(wěn)定地納入和保持正式學習材料中更詳細和分化的內(nèi)容，給學習者在已知與未知之間架起一道橋梁，從而更有效地學習新材料.筆者采用的引入方式是基于學生已有的認知，在深刻理解數(shù)學，理解教材的基礎上提出的，能在“已經(jīng)掌握的知識”和“需要掌握的知識”之間架起溝通的橋梁，因此學生在課堂上的探究是自然的，有效的.

二、在課堂有效提問上多下功夫

問題是數(shù)學的心臟，有效的提問才能保證探究的順利自然.課堂提問的有效性應具有以個幾個特征：（1）可及性.問題的設計要結合學生一般認知律，身心發(fā)展規(guī)律；（2）開發(fā)性.問題富有層次感，入手較易，開發(fā)性強，解決方案多，學生思維與創(chuàng)造的空間多；（3）挑戰(zhàn)性.能引起學生的認知沖突與學習欲望，能激發(fā)興趣，促進學生積極參與，接受問題的挑戰(zhàn)；（4）體驗性.能給學生提供深刻體驗，人人有所得，包括操作、探究的機會或替代性實驗，學生能感受、體驗數(shù)學.

如兩位老師在分析點與圓位置關系時都設計了以下例題：

例1寫出圓心為A（2，3）半徑長等于5的圓的方程，并判斷點M1（5，7）和M2（，1）否在這個圓上.

對這個問題大都學生都能利用點到圓心的距離與半徑大小來判斷.從而得出一般性結論：點M（x0，y0）與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關系的判斷方法：

（1）（x0-a）2+（y0-b）2＞r2，點在圓外；

（2）（x0-a）2+（y0-b）2=r2，點在圓上；

（3）（x0-a）2+（y0-b）2＜r2，點在圓內(nèi).

筆者認為該問題不符合開放性、挑戰(zhàn)性、體驗性的原則.維果茨基認為，在確定發(fā)展與教學的可能關系時，要使教育對學生的發(fā)展起主導和促進作用，就必須確立學生發(fā)展的兩種水平，一是已經(jīng)達到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為學生能夠獨立解決問題的智力水平；二是可以達到的發(fā)展水平，但要借助別人的幫助，在集體活動中，通過模仿才能達到解決問題的水平.在新課程實施過程中，教師的幫助常以問題形式出現(xiàn)，通過設置“問題鏈”，搭建“腳手架”，利用問題驅動，促使學生達到發(fā)展水平.不過問題通常是由教師提出來的，不是由學生提出來的，至于為什么要提出這些問題，而不提另一些問題？學生沒有去想.這樣學生成為了解決問題的主體，而不是提出問題的主人，他們問題意識淡薄，不知道怎樣提問，也不知道如何表述問題，更不知道在什么時候應該提出什么問題.這是可悲的，也是可怕的，這種探究也是無效的，必須通過我們的努力改變這種狀況.

基于學生的“最近發(fā)展區(qū)”加強從“數(shù)”到“形”的訓練，引導學生自己提出問題，是否可這樣設計該問題：每人寫一個圓的標準方程與幾個點，要求你的同桌判斷點與圓是什么關系？如何判斷？這一開放性問題，有一定的思維空間，不同層次的學生都能在這個問題上有不同層次的施展，一方面培養(yǎng)了應用知識解決問題能力，另一面也培養(yǎng)了學生提出問題，發(fā)現(xiàn)問題的能力.課堂提問要保證提問的質量，又不能讓學生有生畏之感，也不能讓學生不動腦筋就能輕易答出的懈怠，從而激發(fā)學生探究的動力.

三、不干擾學生的數(shù)學思維

兩節(jié)課聽下來，總體感覺是現(xiàn)在做老師的“累“，老師上課時“滔滔不絕”地講，而學生很“輕松”，基本上不用動筆，動口，看上去無所事事.事實上，課堂教學中老師的“喋喋不休”不經(jīng)意間干擾了學生思維的時間與空間，因為有深度的思考需要充分的時間.如兩位老師是這樣分析例2的：

例2 設△ABC的三個頂點坐標是A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圓的方程.

學生思考了一會兒，老師就叫學生回答.

學生：設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，

教師1：用這種方法比較麻煩，還有其他方法嗎？

教師2：如何解？

學生：①-②得a-2b=8，

②-③得a+b=-1，

所以a=2，b=-3，r2=25.

（結果是老師幫她算出來的）接下去兩位老師又分析了解法二，即先求線段AB，AC直線的交點（即外接圓圓心），然后求出半徑，就可得圓的標準方程.表面上都很好地完成了教學任務，實際上還是老師講得多，學生思考時間少.實際上本例題可留一定時間讓學生思考，然后請兩位不同思路的學生講思路，講解法，最后請其他同學們評價兩種方法的優(yōu)缺點.又如在推導圓的標準方程過程中，第一步是建立適當直角坐標系，兩位老師也都是“取而代之”學生的思考直接給出答案，實際上若讓學生思考，肯定有不同的結果.學習是什么？它是學習者的體驗感受，動嘴說的過程，因此課堂要留一定的時間與空間給學生.

四、將黑板還給學生

在傳統(tǒng)教學中黑板是老師的“專利”，學生上黑板板演得不到應有的重視.這與傳統(tǒng)教學觀有關：教師是演員，也是導演，而學生是聽（觀）眾，沒有體現(xiàn)學生的主體作用.另外一個問題是板演后誰來評價？當然是學生來相互評價.但實際上往往是老師自己評價.筆者要呼吁的是：還黑板給學生，讓學生擁有自己的活動空間，展示平臺，在活動中生產(chǎn)數(shù)學情感和數(shù)學智慧，讓探究來得更自然些，讓學生探究有更好的載體.兩位老師上課都沒有安排學生到黑板上板演.學生回答問題時，也是學生邊說老師邊在黑板上寫，認認真真做了回學生的“秘書”.實際上本節(jié)課有很多機會讓學主上黑板板演.如例2中圓的標準方程推導過程中如何建立適當?shù)淖鴺讼档?這樣學生以“稿紙”、“黑板”為“實驗田”進行畫圖實驗，對不夠充分的，錯誤的進行補充、糾正，這樣在合作學習中，既調動了全體學生的學習積極性，又培養(yǎng)了學生分析問題，解決問題的能力，這樣探究是自然的、有效的.還黑板給學生還可避免老師滿堂灌（包括人灌和機灌），學生“被學習”，“被告知結果”等.

以上是本人聽了兩節(jié)課及平時聽課后的一點感受，要想探究得更自然，老師首先要在理解教材，理解教學，理解學生上多下功夫，這是學生探究問題的前提；教師須在設計有效問題（引導學生自己提出問題，捕捉來自學生的問題）上下功夫，這是探究的保證；留有時間給學生思考，還黑板給學生，這樣才能保證學生探究問題的時間和空間.

1.章顯聯(lián).探究之路在何方？——立足教材，開展探究教學［J］.數(shù)學通報，2008（7）：29.

2.章顯聯(lián)，章水云.一種提出問題的策略——從質疑開始［J］.數(shù)學教學，2009（4）：18.

3.章顯聯(lián).談高一新課程“函數(shù)的零點”教學的幾個問題［J］.數(shù)學通報，2007（11）：52.

4.陽志長.還黑板給學生，構造高效課堂［J］.中學數(shù)學教學參考，2011（7）：7.