有關定積分等式的證明

李巍

【摘 要】定積分是由計算平面上封閉曲線圍成區(qū)域的面積而產(chǎn)生的。為了計算這類區(qū)域的面積，最后歸結(jié)為計算具有特定結(jié)構(gòu)的和式的極限。這種特定結(jié)構(gòu)的和式，不僅是計算區(qū)域面積的數(shù)學工具，而且也是計算許多實際問題的數(shù)學工具，因此，無論是在理論上還是在實踐中，特定結(jié)構(gòu)的和式的極限——定積分具有普遍的意義。定積分是大學數(shù)學分析的學習和研究的重要課題，是數(shù)學專業(yè)學習的主要內(nèi)容，定積分的等式證明是大學數(shù)學中比較常見的題型，部分定積分的等式證明較為復雜，若不能巧用一些數(shù)學方法，不僅使一些問題煩瑣而且可能導致無法求得其解。所以證明等式的技巧與方法很重要，我們可以根據(jù)定積分各種定理、推論、公式等等。對于不同的類型的定積分等式證明題運用不同的證明方法，本文將探討對定積分等式證明的一般方法和證明思路。為定積分等式證明奠定基礎。

【關鍵詞】定積分；等式；證明

定積分等式屬于積分學重要內(nèi)容，在學習和應用中，會碰到大量有關積分等式命題的證明。從積分等式命題的證明探求過程可以看出，它并非是一種純粹的積分接替計算智能活動，證明往往具有較強的靈活性和技巧性。通常求證一道積分等式命題要用到多種技巧，而對同一個積分等式命題能用幾種方法來證明的情形也較多。所以，有時很難確切對其證法進行分類。為了分析和解決這些問題，這里我們把導致問題獲得解決的主要關鍵作為分類依據(jù)。常用的若干典型證法有換元法、輔助函數(shù)法、分部積分法等，常用的定理有連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)，積分性質(zhì)及中值定理等。

1.定積分定義及性質(zhì)