冷軋液壓輥縫系統(tǒng)的自適應模糊Backstepping控制

吳忠強，湯雅超，肖雪飛，于金平

(1.國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術研究中心，秦皇島 0 66004;2.燕山大學 工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室，秦皇島 0 66004)

冷軋機輥縫系統(tǒng)的控制是板厚控制的核心技術。在現代軋機板厚控制系統(tǒng)中，電液伺服控制系統(tǒng)以其響應速度快、控制精度高、體積小、質量輕等優(yōu)點占據了主導地位。但是，電液伺服控制系統(tǒng)具有很強的非線性特性，系統(tǒng)中的參數存在不確定性，給控制系統(tǒng)的設計帶來很大的困難［1］。由于線性控制策略往往得不到理想的控制效果，人們將非線性智能控制方法應用到板厚自動控制系統(tǒng)中:趙琳琳等［2］利用自適應魯棒控制方法設計了動態(tài)控制器;李迅等［3］將Smith預測方法應用到AGC控制系統(tǒng)中;Bemporad等［4］利用最優(yōu)滑模方法進行AGC控制。以上方法都在一定程度上改善了AGC系統(tǒng)性能。

Backstepping設計方法的基本思路是將一個復雜的高階系統(tǒng)分解成若干個子系統(tǒng)，遞歸地對各個子系統(tǒng)進行Lyapunov函數選擇和控制器設計直至完成對整個系統(tǒng)的設計，從而有效地避開了直接選取高階系統(tǒng)Lyapunov函數的難題。Backstepping設計方法因其具有設計思路簡單、步驟清晰等優(yōu)點而被廣泛應用。Hang等［5］提出了一類嚴格反饋非線性系統(tǒng)的自適應Backstepping控制;Ge等［6］基于 Backstepping方法提出了非線性系統(tǒng)自適應神經網絡控制;Yang等［7］提出了基于小增益和Backstepping的魯棒自適應模糊控制器;Zhou等［8］對帶有輸入延時的不確定系統(tǒng)設計了Backstepping自適應控制;李淵等［9］將Backstepping方法應用到雙饋電機系統(tǒng)中，設計了滑模變結構控制器。

文獻［10－11］針對電液伺服系統(tǒng)采用了標準的Backstepping設計方法分別設計了多滑模魯棒自適應控制和自適應滑?？刂?，由于電液伺服系統(tǒng)中含有較多的不確定參數，使得控制器中含有大量的自適應律，加之Backstepping設計過程中對狀態(tài)量反復求導引起的計算膨脹問題，導致控制器設計復雜，很難得到最優(yōu)的控制效果。賈濤等［12］應用了模糊自適應方法，解決了Backstepping方法的計算膨脹問題，使控制效果得到了改善。

本文針對液壓輥縫系統(tǒng)的非線性、參數不確定性和負載干擾提出了一種自適應模糊Backstepping滑?？刂品椒?。用模糊系統(tǒng)來逼近參數不確定項和干擾項，解決了大量自適應律嵌套在控制器中的問題。選取適當Lyapunov函數，有效地減少了Backstepping設計步驟，抑制了Backstepping設計過程中的計算膨脹。仿真表明，本控制器能實現快速跟蹤，對參數變化和負載干擾具有較強的魯棒性。

1 液壓－輥系模型及問題描述

冷軋液壓輥縫系統(tǒng)是由四通滑閥、雙頭液壓缸和機架軋輥系統(tǒng)組成。

假設四通閥為理想的零開口滑閥，根據流體力學節(jié)流公式和壓力分析可得四通閥的壓力－流量方程:

其中:xv為閥芯位移;Kiv為伺服放大器的放大倍數;QL為負載流量;Cd為節(jié)流口流量系數;W為節(jié)流口面積梯度;ps，pL分別為油源壓力和負載壓力;ρ為液壓油密度;u為控制器輸出。

假設液壓缸的負載流量是兩個工作腔流量的平均值，綜合每個工作腔的流量連續(xù)方程可得油缸的流量連續(xù)方程:

其中:Ct為液壓缸的總的泄露系數;A為液壓缸活塞的有效面積;Vt為液壓缸等效的總容積;xp為液壓缸輸出位移;β為液體體積彈性模量。

液壓缸的動態(tài)特性受負載特性的影響，冷軋液壓系統(tǒng)的負載力包括粘性阻力、彈性阻力、外部負載力和慣性力。將軋機輥系近似為單自由度模型，認為在軋制的過程中下輥系是固定不動的，只有上輥系做垂直運動，則有液壓缸輸出力平衡方程:

其中:m為折算到活塞上的總的等效質量;B為軋機粘性阻尼系數;K為軋機彈性剛度系數。

假設液壓缸活塞桿與軋輥剛性連接，液壓缸缸體與機架剛性連接，工作輥與支撐輥是彈簧－阻尼連接，可建立軋機機架－輥系和液壓缸的動力學方程:

其中:xw為工作輥位移;Mw為工作輥及其軸承的等效質量;C為工作輥與支撐輥間的阻尼系數;KM為軋輥間彈性系數;fl為外部負載力。

控制目標是使系統(tǒng)快速跟蹤給定的參考軌跡并保持穩(wěn)定。本文采用Backstepping方法設計滑模控制器，利用自適應模糊系統(tǒng)來逼近不確定項和干擾項，從而消除不確定項和干擾項對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，最終使系統(tǒng)工作在穩(wěn)定的工作狀態(tài)。

Ωf、Ωg和 Ω0分別是 ωf、ωg和 x的有界集。根據模糊系統(tǒng)的萬能逼近定理，f(x)、g(x)的最優(yōu)逼近分別為:

定義逼近誤差:

2 控制器設計及穩(wěn)定性分析

對液壓輥縫系統(tǒng)進行自適應模糊Backstepping滑?？刂破髟O計，選取適當的Lyapunov函數使得三步Backstepping就能完成對五階系統(tǒng)的控制器設計，解決高階系統(tǒng)Backstepping設計的計算膨脹問題，在Backstepping設計的最后一步與滑模控制方法相結合，進一步提高系統(tǒng)的魯棒性，最后證明設計的控制器能夠使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

第一步，首先考慮子系統(tǒng)(x1，x2)，選取Lyapunov函數

則V1沿著子系統(tǒng)(x1，x2)的時間導數為:

選取

為虛擬控制輸入，其中k1為選定的正常數。

令 α1=e4－e3=(x4－x3)－(x4d－x3d)

其中 x3d，x4d為 x3，x4的期望值。那么

第二步，考慮子系統(tǒng)(x1，x2，x3，x4)，選取 Lyapunov函數

其中rf為選定的正常數。有:

選取

為虛擬控制輸入，其中k2為選定的正常數。

令α2=e5=x5－x5d，其中x5d為x5的期望值。則

所以自適應律取

則

第三步，定義滑動流形為

其中c1為選定的正常數。

對s求導有

定義 η － η^= η～。

考慮整個系統(tǒng)，選取Lyapunov函數

其中 rg，rη為選定的正常數，有

取自適應滑?？刂破?/p>

其中k4是選定的正常數。將式(21)代入式(20)有

取自適應律:

將上述自適應律代入到式(22)中可得:

當控制器的參數滿足下列不等式時，

矩陣Ψ的一、二階順序主子式全都大于零，所以矩陣Ψ是正 定 的。由 式 ( 24)可 知·V≤ － ［α1α2］ ×Ψ［α1α2］T，因此有［α1α2］Ψ［α1α2］Td t≤V(0)－V(∞)。又因為(x2－ x1)、α1、α2、s、都是有界的，所以 V 有界。由 B arbalat定理可知［α1α2］Ψ［α1α2］T=0，所以有=0(i=1，2)，就是系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂。同理，即整個系統(tǒng)可以實現對給定信號的跟蹤，系統(tǒng)狀態(tài)將沿著期望的軌跡趨近于滑模面s=0，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

3 仿真研究

為驗證該控制方法的有效性，對某廠四輥軋機進行參數取樣，并對系統(tǒng)參數發(fā)生變化前后，自適應模糊Backstepping控制器與經典Backstepping控制器的響應曲線進行比較:

在式(5)所示的冷軋機電液伺服系統(tǒng)中，主要的參數為:A=0.68 m2;m=84.2×103kg;B=9×105Ns/m;K=6 ×1010N/m;KM=5.6 ×1010N/m;Ct=5 ×10－13m3s/Pa;Vt=0.144 m3;β =7 ×108Pa;Kq=2.6 ×10－2m2/s;Ps=1 ×107Pa;ρ=900 kg/m3;Kiv=0.004;Mw=9.2 ×103kg;C=11.38 ×105Ns/m。

控制器參數:k1=10 000，k2=662，k3=16.5，k4=350，rf=0.05，rg=1，rη=0.000 1，c1=1。

模糊集合對應的隸屬函數取為

軋機的工作環(huán)境惡劣，會因帶鋼的溫度、厚度、密度、材質的分布不均、機械的振動和焊接點等不確定的因素造成負載的質量、粘性阻尼系數、彈性模量等會發(fā)生改變?？紤]系統(tǒng)參數的慢時變特性，主要是以下參數發(fā)生變化:m=90×103kg，B=8.5 ×105Ns/m，K=5.5 ×1010N/m，C=10.5 ×105Ns/m，Ct=5.5 ×10－13m3s/Pa，Mw=9.0 ×103kg。

軋機軋制過程分為三個不同的工作階段:上下工作輥靠近階段、上下工作輥壓靠階段、正常軋制階段。然而上下工作輥壓靠階段和正常軋制階段聯系緊密，負載特性相似，所以將其視為一個工作階段。下面從上下工作輥靠近階段、壓靠－正常軋制階段兩個階段對控制器的效果進行驗證:

(1)在實際軋制過程中，冷軋機在準備軋制前要先將兩工作輥靠近，這一過程中兩工作輥之間沒有相互擠壓，所以負載軋制力fl=0，系統(tǒng)無負載干擾。液壓系統(tǒng)由靜止狀態(tài)啟動，從0 mm位置移到20 mm即滿足這一工藝要求。圖1、圖2表明本控制算法與經典Backstepping控制算法相比對系統(tǒng)的參數變化具有較強的魯棒性，同時具有快速性和準確性，能夠滿足軋鋼生產本階段的要求。

圖1 跟蹤20 mm位移輸出響應曲線Fig.1 The output response curve of tracking 20 mm displacement

圖2 跟蹤20 mm位移誤差曲線Fig.2 The error curve of tracking 20 mm displacement

圖3 f(x)的自適應模糊估計曲線Fig.3 Theadaptive fuzzy estimation curve of f(x)

圖3和圖4表示系統(tǒng)參數改變前后，上下工作輥靠近階段自適應模糊系統(tǒng)對f(x)和g(x)的估計曲線，由圖可知自適應模糊系統(tǒng)可以在短時間內準確估計出非線性函數。圖5是系統(tǒng)參數變化前后，上下工作輥靠近階段控制系統(tǒng)η的自適應估計曲線。

(2)壓靠過程:為了消除小軋制力區(qū)不穩(wěn)定的影響，在軋機中沒有帶鋼的情況下，將上下工作輥壓靠在一起，產生較大軋制力的過程。這一過程要求兩工作輥壓靠距離為1 mm。如圖6、圖7所示，0～0.1 s為壓靠過程，工作輥快速壓靠并且在0.07 s時誤差遠小于0.01 mm，表明本控制算法可以實現軋機系統(tǒng)的快速壓靠，使軋制力迅速達到正常軋制生產的要求，達到消除小軋制力區(qū)不穩(wěn)定影響的要求，使軋機系統(tǒng)快速過度到正常的軋制過程。

(3)正常軋制過程:板帶在軋制的過程中存在加工硬化現象，帶鋼的溫度、厚度、密度、材質的分布不均、機械的振動和焊接點等不確定的因素造成負載的質量、粘性阻尼系數、彈性模量等會發(fā)生改變，這些因素都能夠造成軋制力突變。為了對實際的生產過程中的干擾進行仿真，在0.05 s后令軋制力突變?yōu)閒l=1.34×107N，符合正常軋制生產的要求。圖6和圖7的0.1秒以后輸出的曲線表示正常軋制過程響應曲線。表明該控制算法可以有效地消除軋制過程負載擾動的影響，使系統(tǒng)穩(wěn)定的跟蹤指定位置。

由圖6、圖7可知自適應模糊Backstepping控制算法比經典Backstepping算法更能適應系統(tǒng)參數的變化，使系統(tǒng)得到更好的性能。

圖8和圖9表示系統(tǒng)參數改變前后，壓靠－正常軋制階段自適應模糊系統(tǒng)對f(x)和g(x)的估計曲線，由圖可知自適應模糊系統(tǒng)可以在短時間內準確估計出非線性函數。圖10是系統(tǒng)參數改變前后，壓靠－正常軋制階段控制系統(tǒng)η的自適應估計曲線。

通過上述三個工作過程可以表明:在系統(tǒng)的參數改變前后，該控制器都能夠使系統(tǒng)快速跟蹤指定位置，使位置誤差收斂到0.01mm以內，克服系統(tǒng)參數的不確定性，對負載的擾動具有較強的魯棒性，控制器實用有效。

圖4 g(x)的自適應模糊估計曲線Fig.4 Theadaptive fuzzy estimation curve of g(x)

圖5 η的自適應估計曲線Fig.5 Adaptive estimation curve ofη

圖6 壓靠－正常軋制輸出響應曲線Fig.6 The output response curve of under pressure-normal rolling

圖7 壓靠－正常軋制誤差曲線Fig.7 The error curve of under pressure-normal rolling

圖8 壓靠－正常軋制f(x)的自適應模糊估計曲線Fig.8 The adaptive fuzzy estimation curve of f(x)of under pressure-normal rolling

圖9 壓靠－正常軋制g(x)的自適應模糊估計曲線Fig.9 The adaptive fuzzy estimation curve of g(x)of under pressure-normal rolling

圖10 壓靠－正常軋制η的自適應估計曲線Fig.10 Adaptive estimation curve ofη of under pressure-normal rolling

4 結論

本文綜合考慮冷軋液壓輥縫系統(tǒng)的非線性、參數不確定性和負載干擾，建立了五階液壓輥縫系統(tǒng)模型。設計了一種自適應模糊Backstepping滑模控制方法。利用自適應模糊系統(tǒng)對模型的不確定項和干擾項進行逼近，從而消除了不確定項和干擾項的影響。根據模型特征，選取適當的Lyapunov函數，使得三次反步算法就能夠完成對五階系統(tǒng)自適應模糊Backstepping滑?？刂破鞯脑O計，有效地簡化了設計過程，解決了高階系統(tǒng)Backstepping設計的計算膨脹問題，在Backstepping設計的最后一步與滑?？刂品椒ㄏ嘟Y合，進一步提高了系統(tǒng)的魯棒性。仿真結果表明，該控制器能使系統(tǒng)夠快速準確地跟蹤指定位置，對參數變化和外部干擾有較強的魯棒性?？刂破鞯脑O計步驟簡單且易于實現，為工業(yè)現場的應用提供了新的控制方法。

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