一類單自由度碰撞振動系統(tǒng)的混沌與最優(yōu)碰撞

韓俊福

（蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

機(jī)械動力系統(tǒng)內(nèi)部或邊界上的間隙常使系統(tǒng)產(chǎn)生碰撞振動，參數(shù)的變化將引起系統(tǒng)響應(yīng)的本質(zhì)變化——產(chǎn)生分岔現(xiàn)象和混沌運動［1］，從而使系統(tǒng)出現(xiàn)動態(tài)失穩(wěn)，這種失穩(wěn)若得不到及時控制將會極大地破壞系統(tǒng)的動力學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，如何優(yōu)化系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)已成為非線性科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點。

1989年Hubler發(fā)表了第一篇控制混沌的文章［2］，隨后 OGY法得到了廣泛的響應(yīng)［3］。經(jīng)過近10年的研究，已經(jīng)涌現(xiàn)出了許多控制混沌系統(tǒng)的方法，比如參數(shù)自調(diào)節(jié)控制［4］、延時反饋控制［5］、混沌同步［6］、模糊控制［7］和狀態(tài)預(yù)測反饋控制［8］等。

本文針對單自由度含雙側(cè)剛性約束碰撞振動系統(tǒng)，以最優(yōu)控制理論［9］闡述在一些條件下的最優(yōu)碰撞，給出碰撞的最優(yōu)參數(shù)條件，通過數(shù)值仿真，驗證了該方法的有效性。

1 單自由度含雙側(cè)剛性約束力學(xué)模型

圖1是一類單自由度含雙側(cè)剛性約束碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型。質(zhì)量為M的振子由剛度系數(shù)為K／2的線性彈簧和線性比例阻尼系數(shù)為C／2的阻尼器相連接，并受到簡諧激振力P·sin（ωt＋τ）的作用，振子只作水平方向的運動。當(dāng)振子的位移X等于位移B（或－B）時，將與剛性約束A（或－A）碰撞，速度反向后以新的初值運動，然后再次與約束A（或－A）碰撞，如此往復(fù)，碰撞過程由恢復(fù)系數(shù)R決定。，選擇振子與剛性約束A作用瞬時為Poincaré截面進(jìn)行分布。

圖1 振動系統(tǒng)的力學(xué)模型

2 混沌碰撞振動

選取無量綱系統(tǒng)參數(shù)：ξ＝0.1，R＝0.8，b＝0.05，取Poincaré截面，數(shù)值計算系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。圖2為ω在區(qū)間［4.25，4.35］的局部分岔圖，可以明顯看出，

在任意連續(xù)碰撞之間（｜X｜＜B），系統(tǒng)的運動微分方程為：

本文中，選取無量綱量隨著激振頻率的增加，系統(tǒng)出現(xiàn)逆倍化分岔序列，并產(chǎn)生了不希望看到的混沌行為，振子的運動相圖及Poincaré映射圖如圖3所示。

3 最優(yōu)碰撞

3.1 基本思想

由于實際系統(tǒng)的控制參數(shù)都是有限的量，不能取無限大的值，若將這些值看作點，則它們位于歐式空間的有界的閉集稱之為控制域U，將定義在時間t的某一閉區(qū)間［t0，t1］上，在控制域內(nèi)取值的每一個函數(shù)u＝u（t）稱為一個控制。

圖2 ω的局部分岔圖

圖3 振子的運動相圖及Poincaré映射圖

給定含參數(shù)α之函數(shù)f0（x，u，α），f0及其偏導(dǎo)數(shù)?f0／?xi（i＝1，2，…，n）在整個區(qū)間上有定義且是連續(xù)的，此時尋求最優(yōu)控制的基本問題可表示為：在相空間內(nèi)給定x0和x1兩個點，如果能尋找到控制u（t）將所有相點從x0移到x1，并且能使泛函式（3）取最小值：

式（3）中，x（t）是含控制的系統(tǒng)方程 d x／d t＝f（x，u）具有初始條件x（t0）＝x0的解。滿足上述問題的解u（t）稱為將相點從位置x0移動到x1的最優(yōu)控制。

3.2 雙側(cè)約束系統(tǒng)的最優(yōu)碰撞

碰撞期間系統(tǒng)的響應(yīng)由沖量和控制輸入決定。借助Green函數(shù)，系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示為：

其中：s為積分微面積；x1（t）為系統(tǒng)在無碰撞條件下的Green函數(shù)；xu1（t）為控制系統(tǒng)的周期Green函數(shù)。

其中：k為屬于區(qū)間［－∞，∞］的自變量；D（s）為動剛度；Q（s）為控制器的傳遞函數(shù)。

從式（4）和式（5）中可解出碰撞前的速度：

根據(jù)碰撞振動的周期性條件和Green函數(shù)的性質(zhì)，可將碰撞沖量表示為：

其中：u1＝［M（1＋R）］－1＋（0）。將式（9）代入式（3）中消去沖量，得：

至此，問題就歸結(jié)為在周期碰撞條件x（T）＝x（0）＝b下確定控制u（t）使得式（10）定義的泛函取最大值。

周期碰撞條件借助Green函數(shù)寫成等周約束的形式，即：

將式（11）代入式（10）可得最優(yōu)極值問題的泛函S的Lagrang形式為：

其中：λ為待定乘子；L為拉格朗日函數(shù)。根據(jù)極大值原理的條件：

進(jìn)一步可解出該最優(yōu)控制的碰撞沖量：

根據(jù)系統(tǒng)能量的限制條件進(jìn)而求得最優(yōu)沖量為：

從式（15）可以預(yù)測在有限的能耗下系統(tǒng)的極限沖擊能力。

3.3 雙側(cè)約束系統(tǒng)的最優(yōu)間隙

當(dāng)碰撞振動系統(tǒng)受到固定的激勵作用時，周期T為固定參數(shù)。此時，可以通過調(diào)節(jié)間隙來增加碰撞沖擊效果。對于單自由度碰撞振動系統(tǒng)，可以解析地分析最優(yōu)間隙?？紤]式（10），該問題的泛函表示為：間隙的條件為：

根據(jù)極值條件可以解得最優(yōu)間隙為：

其中：U0為控制限定常數(shù)。

4 數(shù)值模擬

間隙b對系統(tǒng)參數(shù)的影響比較大，當(dāng)b增大時，振子的沖擊速度增大；當(dāng)b增大到一定值時，系統(tǒng)將成為強(qiáng)迫振動；當(dāng)b減小時，振子的沖擊速度減小到一定程度時，系統(tǒng)將發(fā)生磕碰。

圖4是碰撞振動系統(tǒng)間隙b分別為0.1、0.05、0.01三個參數(shù)時系統(tǒng)變量的變化曲線。仿真表明，最優(yōu)間隙可以實現(xiàn)系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定，選取適當(dāng)?shù)拈g隙對混沌控制有很大的影響。

圖4 最優(yōu)間隙系統(tǒng)的時域曲線

5 結(jié)論

（1）根據(jù)牛頓第二定理建立了一類單自由度含雙側(cè)剛性約束振動系統(tǒng)對稱性周期運動方程，并建立了系統(tǒng)的Poincaré映射方程，通過數(shù)值仿真揭示了該系統(tǒng)的周期運動及通向混沌的途徑。

（2）以最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，闡述了碰撞振動系統(tǒng)在一些條件下的最優(yōu)碰撞。該方法所需控制信息少，容易實現(xiàn)，也可用于其他映射系統(tǒng)，且易實現(xiàn)向高維系統(tǒng)的混沌控制進(jìn)行擴(kuò)展，在實際工程中有一定的指導(dǎo)意義。

［1］ Luo Albert C J.Period－doubling induced chaotic motion in the LR model of a horizontal i mpact oscillator［J］.Chaos，Solitons ＆ Fractals，2004，19：823－839.

［2］ Hubler A，Luscher E.Resonant si mulation of co mplex systems［J］.Helv Phys Acta，1989，62：544.

［3］ Ott E，Grebogi C，Yorke J Z.Controlling chaos［J］.Physics Review Letters，1990，64：1196.

［4］ 張慶爽，丁旺才.一類單自由度非光滑系統(tǒng)混沌運動的延遲反饋控制［J］.振動與沖擊，2008，27（1）：156－158.

［5］ 馬永靖，丁旺才.碰撞振動系統(tǒng)的參數(shù)自調(diào)節(jié)混沌控制［J］.振動與沖擊，2007，26（1）：25－27.

［6］ Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems［J］.Physics Review Letters，1990，64：821.

［7］ 王磊，王為民.模糊控制理論及應(yīng)用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1997.

［8］ 丁旺才，馬永靖.碰撞振動系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測反饋控制［J］.振動工程學(xué)報，2007，20（6）：590－593.

［9］ 王青，陳宇.最優(yōu)控制理論方法與應(yīng)用［M］.北京：高等教育出版社，2010.