淺探一類題目的解法屈成功

在學習《基本不等式》這一章時，大家都非常熟悉一個很重要的不等式a+b≥2ab（ab≥0，當a=b時等號成立），這個不等式以及由此推出的一些結(jié)論（如ab≤（a+b2）2）在高中不等式中都比較常用.但從教學情況來看，學生對于這個基本不等式以及由此生成的一些結(jié)論的形式記得很牢固，但對于等號成立的條件往往不夠重視.

看下面兩個典型的問題：

（1）求函數(shù)y=x+2x（x>0）的最小值；

（2）求函數(shù)y=sinx+2sinx[x∈（0，π2）]的最小值.

一般學生都會這樣去認識這兩個問題：對于問題（1）而言，由于x>0，由基本不等式得

y=x+2x≥2x×2x=22，因此最小值是22；對于（2）而言，由于x∈（0，π2），所以sinx>0

，因此y=sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22，最小值為也是22.

這兩個結(jié)果是否正確呢？

我們來分析一下.從學生的反應來看，學生對于基本不等式的形式記得非常牢固，但學生對于等號成立的條件或者說能否取到最小值認識不清.對于（1），當且僅當x=2x時等號成立，此時x=2，即能取到最小值，沒什么問題.對于（2），我們經(jīng)過分析后發(fā)現(xiàn)取不到最小值.因為當sinx=2sinx時等號成立，此時sinx=2，但是sinx根本不可能取到2，因此y=sinx+2sinx取不到最小值22.

現(xiàn)在有些學生要問，既然y=sinx+2sinx[x∈（0，π2）]取不到最小值，那么它的值域是什么，我們怎樣才能求出它的值域？實際上這個函數(shù)的類型是“y=f（x）+1f（x）型”或者“y=f（x）+a2f（x）型”.這種類型的函數(shù)值域求法不止一種，下面我們來看其中的一種.

首先，我們對函數(shù)y=x+1x的一些簡單的性質(zhì)進行討論后，畫出它的大概圖像.

y=x+1x是一個奇函數(shù)，因而它的圖像關(guān)于

原點對稱，我們只需畫出它的一部分（如x>0的部分），然后根據(jù)它的對稱性再畫出它的另外部分，形成整體圖像.

由奇函數(shù)的對稱性我們?nèi)菀桩嫵鰕=x+1x的整體圖像如圖1所示.