《數(shù)學(xué)》第五章“三角函數(shù)”教材分析與教學(xué)建議

唐志華

【摘 要】三角函數(shù)是中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的第一個周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個基本初等函數(shù)。學(xué)習(xí)三角函數(shù)將對函數(shù)的周邊概念如函數(shù)符號、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建構(gòu)更完整的認(rèn)識。教師在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會三角函數(shù)與一般函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時要特別注重數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。本文還分節(jié)給出了在教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過程及例題處理等具體環(huán)節(jié)的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 教材分析 教學(xué)建議

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對函數(shù)有了一定的認(rèn)識。三角函數(shù)是學(xué)生遇到的第一個周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個基本初等函數(shù)。學(xué)完本章以后，學(xué)生應(yīng)對函數(shù)的一般內(nèi)容，如函數(shù)符號、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建立更完整的認(rèn)識。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中已有銳角的三角函數(shù)的概念，但沒有將其作為一種函數(shù)來教學(xué)，關(guān)注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問題。到了中職教育階段，需要從函數(shù)的角度來認(rèn)識三角函數(shù)，落實大綱中與三角函數(shù)部分相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容與要求。

本章首先對角的概念進(jìn)行推廣，并通過弧度制對角的度量建立角與實數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)奠定基礎(chǔ)；為了角的概念推廣的需要，把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，不僅建立了角的大小與終邊位置的關(guān)系，而且通過角的終邊上的點的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，并利用角的終邊上點的坐標(biāo)的正負(fù)直觀性，判斷三角函數(shù)值的符號，得到特殊角的三角函數(shù)值，建立同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式幫助學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩方面理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的變化規(guī)律；最后利用計算器及誘導(dǎo)公式，能由已知三角函數(shù)值求出指定范圍的角。

本章內(nèi)容分為五個部分：角的概念推廣，弧度制，任意角三角函數(shù)的概念及相關(guān)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角。

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》建議本章設(shè)置18課時，其中新授部分16課時，復(fù)習(xí)部分2課時。

《大綱》對本章知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求包括：4項“了解”（角的概念推廣、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求指定范圍內(nèi)的角）；4項“理解”（弧度制，任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)）；2項“掌握”（利用計算器求三角函數(shù)值及利用計算器求角度）。

本章可看作是第三章（函數(shù)）的延伸和拓展，在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關(guān)系，即個性與共性之間的關(guān)系。同時，在本章的教學(xué)中，要特別注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如突出“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。由于三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，所以教學(xué)中既要“以形助數(shù)”，突出幾何直觀幫助學(xué)生理解抽象概念，又要“以數(shù)助形”，通過代數(shù)性質(zhì)反映圖像的變化規(guī)律。再如，由銳角的三角函數(shù)值到任意角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)圖像上一點的作法到一個周期內(nèi)的圖像上的畫法乃至整個定義域上的圖像的畫法等都遵循了由特殊到一般的思維方法。學(xué)好余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的最有效的方法是與正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行類比。

下面，筆者對本章的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過程及例題處理等方面，分節(jié)給出教學(xué)建議。

一、5.1角的概念推廣（2課時）

在學(xué)習(xí)了角概念的基礎(chǔ)上，本節(jié)的學(xué)習(xí)將進(jìn)行角的概念推廣。在初中，角的定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形，角的范圍是0°～360°。

為了研究的方便，常將角放在平面直角坐標(biāo)系中，一般將角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與X軸的正半軸重合。這樣對所有的角來說，角的頂點、始邊是相同的，區(qū)別僅在終邊，而終邊的位置就決定了它是哪個象限的角。

銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角；鈍角是第二象限角，但第二象限角不一定是鈍角。

由“問題解決”可歸納出一般的結(jié)論：

若α是第一象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，則α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，則α/2是第二或第四象限角。

二、5.2弧度制（1課時）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中學(xué)習(xí)的角度制基礎(chǔ)上進(jìn)行的。首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制的規(guī)定：一個周角的1/360叫做一度。

在此基礎(chǔ)上通過多種形式的教學(xué)活動使學(xué)生理解：弧度制是一種新的度量角的單位制。一個角的弧度數(shù)就是這個角（以角的頂點為圓心，任意長為半徑的圓的圓心角）所對弧的長度與半徑的比值，關(guān)鍵是要掌握弧度與角度換算的基本關(guān)系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。

三、5.3任意角的三角函數(shù)（2課時）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在初中，學(xué)生是通過直角三角形邊的比值來規(guī)定角的三角函數(shù)值：對于一個直角三角形的銳角，其正弦值為對邊與斜邊的比值，余弦值為鄰邊與斜邊的比值，正切值為對邊與鄰邊的比值?，F(xiàn)在對任意角，分別用三個比值y/r、x/r、y/x來規(guī)定，它們都只與角的終邊所在位置有關(guān)，而與點P在角的終邊上的具體位置無關(guān)。

從“問題解決”中，我們可以得出結(jié)論：

一個角的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)就等于這個角的正弦；與單位圓交點的橫坐標(biāo)就等于這個角的余弦；與單位圓交點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值就等于這個角的正切。

由討論可知，對于任意角α，它的正弦、余弦都有意義（因為r>0），但正切不同（因為tanα=y/x，x有可能為0），只有當(dāng)x≠0，即角α的終邊不在y軸上才有意義。因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R，正切函數(shù)的定義域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。

要確定角α的三個三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵還應(yīng)從任意角的三角函數(shù)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形更容易掌握。

四、5.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2課時）

本教材是利用單位圓導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系的：角α的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)就等于sinα，橫坐標(biāo)就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（稱為平方關(guān)系）；再由正切的定義tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（稱為商數(shù)關(guān)系）。

由兩個基本關(guān)系式可知，一個角的正弦、余弦、正切函數(shù)值之間是相互關(guān)聯(lián)的。因此，已知一個角的一個三角函數(shù)值，就可利用基本關(guān)系式求出其余兩個三角函數(shù)值。

學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，除了可以解決已知一個角的某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值，還可以對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡。要啟發(fā)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上討論并總結(jié)化簡的原則。

五、5.5三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（2課時）

根據(jù)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，就能得到誘導(dǎo)公式1；根據(jù)單位圓上點的坐標(biāo)及對稱關(guān)系，就能得到誘導(dǎo)公式2、誘導(dǎo)公式3、誘導(dǎo)公式4。

要掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，關(guān)鍵是要掌握公式2、3、4的特點：函數(shù)名稱不變，至于正負(fù)號，可以通過特殊化的辦法來確定。既然公式對任意角α都成立，那么，當(dāng)α是銳角時當(dāng)然也成立。當(dāng)α是銳角時，-α為第四象限角，其正弦、正切值為負(fù)，余弦值為正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分別為-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。

用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)值化為[0，π/2]內(nèi)的角的三角函數(shù)值，正確地化角和正確地運用誘導(dǎo)公式是關(guān)鍵。

由“問題解決”可知，誘導(dǎo)公式之間是有聯(lián)系的。如對于sin（π+α），我們可以作如下轉(zhuǎn)化：

sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.

分析例4時要引導(dǎo)學(xué)生回顧：判斷一個函數(shù)的奇偶性，一般都是從定義出發(fā)。在確認(rèn)了定義域關(guān)于原點對稱后，接著就考察f（-x）的結(jié)果等于f（x）還是-f（x），進(jìn)而判定這個函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。

六、5.6正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（3課時）

用正弦線作正弦曲線的好處是不需要計算角的正弦值，實際就是把正弦線平移到相應(yīng)角的位置。這里要特別注意在坐標(biāo)系里橫軸、縱軸的單位必須一致，同時注意曲線的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的?！拔妩c法”作正弦曲線，實際就是列表描點法。這里的五個點分別是曲線與x軸的交點和最高點及最低點，它們的橫坐標(biāo)的間隔是π/2。

無論是幾何法還是“五點法”，都是為了找到曲線上的一些點，再用光滑的曲線把這些點連接起來。熟練之后就要把握好正弦曲線的形狀和特征，能迅速畫出正弦曲線的草圖。

由教材P152的“思考交流”所得結(jié)論，我們可以進(jìn)一步推廣：y=-f（x）的圖像，與y=f（x）的圖像關(guān)于x軸對稱，y=f（x）+1的圖像，可以由y=f（x）的圖像向上平移一個單位而得到。

無論是單位圓中角在旋轉(zhuǎn)過程中正弦線的變化規(guī)律，還是由誘導(dǎo)公式1，均能得出正弦函數(shù)的圖像是呈“周而復(fù)始”的規(guī)律的。結(jié)合周期函數(shù)的定義和對周期的規(guī)定，由“探究”所得結(jié)論可知，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，它的周期為2kπ，k∈Z，最小正周期為2π。

要判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù)，通常是按照定義，尋找非零常數(shù)T，滿足f（x+T）=f（x）。由于已約定，在沒有特別說明的情況下，我們所說的周期都是最小正周期。因此，在找到這樣的常數(shù)T之后，還要再找出其中的最小正數(shù)。

由于正弦函數(shù)y=sinx的周期為2π，也就是說其圖像每經(jīng)過2π就重復(fù)，因此，要討論正弦函數(shù)的單調(diào)性，只需選取長度為2π的區(qū)間即可。

解決了例3后，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)：遇到出現(xiàn)含有正弦式的等式，求其他量的范圍問題時，通常是把正弦式放在等式的一側(cè)，其余的放在另一側(cè)。由于sinx的取值范圍是[-1，1]，等式另一側(cè)表達(dá)式的取值范圍也就是[-1，1]，這樣就可求出其他量的范圍。

不求值比較兩個角的正弦值的大小時，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問題化為在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個角的正弦，再根據(jù)單調(diào)性來確定它們的大小。

七.5.7余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2課時）

本節(jié)的教學(xué)過程中要充分運用好類比法，利用上一節(jié)研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的類似方法來研究余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

與畫正弦線類似，我們要畫出余弦函數(shù)y=cosx圖像上的點（x，cosx）。但余弦線不像正弦線那樣是“豎立”的。從畫圖的角度來說，得到每一個角的余弦線后，用圓規(guī)還是可以把它移到相應(yīng)的位置使它“立”起來的，但這樣做比較麻煩。用教材P157上的圖5-23，就能達(dá)到使它“立”起來的效果，這樣畫圖就比較方便。

無論是幾何法還是“五點法”，都是為了找到余弦函數(shù)y=cosx圖像上的一些點，再用平滑的曲線把這些點連接起來。熟練之后把握好余弦曲線的形狀和特征，就能迅速畫出余弦曲線的草圖。

仔細(xì)觀察教材P159的“思考交流”中的圖5-28，我們可以發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個單位得到。

類比正弦函數(shù)的性質(zhì)，很容易得到余弦函數(shù)的前三個性質(zhì)，對照正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域、值域、周期沒有變化，最大的區(qū)別在于奇偶性（是偶函數(shù)）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自變量不同）。如此類同的根本原因，可以從幾何上得到解釋：余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個單位得到。

不求值比較兩個角的余弦值的大小時，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問題化為在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個角的余弦，再根據(jù)單調(diào)性來確定它們的大小。

對于例3，解決時要有整體意識，即把x/3看作一個角，為了方便，用換元法，設(shè)t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，從而得到x=6kπ。最后還須注意把所得結(jié)果寫成集合形式。

八、5.8已知三角函數(shù)值求角（2課時）

為了解決有關(guān)已知三角函數(shù)值求角的問題，學(xué)生需要具備良好的基礎(chǔ)。為此，教師要組織同學(xué)一起回顧本章前面所學(xué)的知識，特別是誘導(dǎo)公式，各個象限的三角函數(shù)值的符號以及特殊角的三角函數(shù)值等。

兩處“思考交流”，都是把例題中的角的范圍擴(kuò)大到實數(shù)集R，此時滿足題意的角就有無數(shù)個：當(dāng)其正弦值為正時，它們應(yīng)分別是第一、第二象限角。由例2中已得到滿足題意的兩個角：π/4和3π/4，再得到所有滿足題意的角的集合：{α│α=π/4+2kπ或3π/4+2kπ，k∈Z}；當(dāng)余弦值為負(fù)時，它們應(yīng)分別是第二象限角和第三象限角。由例4中已得到滿足題意的兩個角129.79°和230.21°，再得到所有滿足題意的角的集合：{x│x≈129.79°+k·360°或230.21°+k·360°，k∈Z}。

（作者單位：南京幼兒高等師范學(xué)校）