淺談高效課堂數(shù)學教學的變式訓練＊

章向鋒

（德化第六中學，福建 德化362500）

例題、習題是訓練學生的思維材料，是教者將自己的思想、方法以及分析問題和解換問題的技能技巧施達于學生的載體.通過例題、習題的變式教學，形成數(shù)學的基本思想、基本方法和基本態(tài)度所構成的認知體系，以及學會用數(shù)學的思維方式去考慮問題、處理問題的自覺意識或思維習慣是學生數(shù)學素質的核心內(nèi)容.現(xiàn)在的教學資源很豐富，教學資料隨處可得，用哪種資料的習題，不用哪種資料的習題，教師和學生很難作出選擇.筆者根據(jù)自己十多年的初中教學經(jīng)驗，認為教師所選用的例題、習題應“源于課本”，然后對它進行變式，使它“高于課本”.變式時要緊扣考試說明，以“考綱為綱”.在歷年的中考題中，其內(nèi)容大都源于課本，都是課本例題、習題的變式.因此，中學數(shù)學教學加強對“變式教學”的方式方法研究顯得十分必要.

1 “變式教學”的目的和原則

馬登理論（Madden theory）［1］對概念教學的啟示是：概念教學中，概念習得之前與習得之后“變”的程度應有不同的側重點和方法.認知心理學認為：數(shù)學學習并不是被動地接受過程，而應該是一個創(chuàng)新過程.因此，現(xiàn)代的數(shù)學教學應建立在對學生進行積極鼓勵，引導學生積極探究的創(chuàng)新型教學模式之上.書本中例題、習題的變式訓練是創(chuàng)新型教學的重要手段之一，它既能調動學生學習的積極性，又能激發(fā)學生的求知欲望和不斷進取的精神，有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、創(chuàng)造能力和張揚個性.

“變式教學”主要有以下原則：一是針對性原則.例題、習題變式教學不同于習題課的教學，它慣穿于新授課、習題課和復習課，與新授課、習題課和復習課并存，一般情況下不單獨成課.因此，對于不同的時授課，對例題、習題的變式也應不同.例如，新授課的習題變式應服務于本節(jié)課的教學目的；習題課的習題變式應以本章節(jié)內(nèi)容為主，適當滲透一些數(shù)學思想和數(shù)學方法；復習課的習題變式不但要滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法，還要進行縱向和橫向的聯(lián)系，同時變式習題要緊扣考綱.在例題、習題變式教學時，要根據(jù)教學目標和學生的學習現(xiàn)狀，切忌隨意性和盲目性.二是可行性原則.選擇課本例題、習題進行變式，不要“變”得過于簡單，過于簡單的變式題會讓學生認為是簡單的“重復勞動”，影響學生思維的質量；難度“變”大的變式例題、習題易挫傷學生的學習積極性，使學生難以獲得成功的喜悅，長此以往，將使學生喪失自信心，因此在選擇課本例題、習題進行變式時要有“度”.三是參與性原則.在例題、習題變式教學中，教師要讓學生主動參與，不要總是教師“變”，學生“練”要鼓勵學生大膽地“變”，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.在“變式教學”過程中，例題的變式有利于“豐富”概念，有利于“純潔”概念，從而盡可能避免非本質屬性泛化的錯誤，使數(shù)學概念的概括精確化，提高“變式教學”的有效性.

2 “變式教學”典型案例分析

原型與變式對數(shù)學概念學習的影響，促使我們提出在教學中要充分發(fā)揮二者的積極作用，避免其不利影響的建議.然而，僅僅做到這一點，對于許多數(shù)學概念的學習與深刻理解還很不夠［2］.在教學中講解矩形和菱形的判定時，為了增強學生對矩形、菱形的判定方法的區(qū)別和聯(lián)系，加深對其性質的理解和認知，可以采用如下“變式教學”.以人教版《幾何》第二冊第152頁例5為例：

已知：平行四邊形ABCD 的對角線AC的中垂線分別交邊AD、BC于點E、F（如圖1）.

求證：四邊形AFCE是菱形.

圖1

圖2

分析與解：把原題中的條件平行四邊形ABCD 改為矩形，其余條件不變（圖2），問學生上述結論仍否成立？

當學生回答成立后，進一步引導“怎樣從一矩形得到一菱形呢？學生思考后，可能會出現(xiàn)以下幾種思考和說明：

（1）矩形ABCD，∠BAD.∠DBC的平分線分別交BC、AD 于F、E 點，則四邊形ABFE 是菱形（圖3）.此變式的根據(jù)為菱形判定定理2.

（2）在矩形ABCD 中，E、F、G、H 分別是各邊的中點，則四邊形EFGH 是菱形（圖4），此變式的根據(jù)是判定定理1.

圖3

圖4

（3）菱形對角錢會平分一組對角，所以在矩形ABCD 中作∠CAF＝∠DAC，交BC于點F，過點C作CE∥AF交AD 于E，則四邊形AFCE是菱形，如圖5.

（4）菱形是四條邊相等的四邊形，而矩形的對角線恰是平分且相等，因此在矩形ABCD 中，作點0關于CD 的對稱點E，則四邊形OCED 是菱形，如圖6.

圖5

圖6

當學生進行了上述變式后，教師又可不失時機地問：“如何從一菱形得到一個矩形呢？”學生的思考中又可能會出現(xiàn)以下幾種情況：

（1）可以用邊的中點得到菱形，則也可以把菱形四邊中點構成一個矩形，如圖7，菱形ABCD 中，E、F、G、H 分別為四邊中點，則四邊形EFGH 是矩形.

（2）可以用軸對稱得到菱形，則也可以用中心對稱由菱形得到矩形，如圖8，菱形ABCD 中，E、F分別是B、D 關于A 點的中心對稱，則四邊形BDEF是矩形.

（3）矩形是有一個直角的平行四邊形，如圖9，過點B作BE⊥AD 于點E，過點D 作DF∥BE交BC于F，則四邊形BFDE是矩形.

（4）如圖10，菱形ABCD 的對角線AC、BD 相交于點0，在OB、OD 上分別取OE＝OA，OF＝OC，則四邊形AECF是矩形.

圖7

圖8

圖9

圖10

通過這些變形，學生對矩形、菱形的知識結構有了更深層次的認識.學生只要經(jīng)常展開智慧的翅膀，相信在課改下的學習會有意想不到的收獲.經(jīng)常進行變式問題的探究，往往能導出一般的結論或發(fā)現(xiàn)一個新的問題，學生的概括能力、想象能力、邏輯推理能力都會得到大幅度的提高.

3 例題、習題變式教學應注意的問題

（1）源于課本，高于課本.在中學數(shù)學例題、習題變式教學中，所選用的“源題”應以課本的例題、習題為主，課本例題、習題均是經(jīng)過專家學者多次篩選后的題目的精品，我們沒有理由放棄它.在教學中我們要精心設計和挖掘課本的例題、習題，編制一題多變、一題多解、一題多用和多題一解，以提高學生靈活運用知識的能力.

（2）縱向聯(lián)系，溫故知新.在中學數(shù)學例題、習題變式教學中，對例題、習題的變式要注意縱向聯(lián)系，要緊密聯(lián)系以前所學的知識，讓學生在學習新知識的同時對舊知識也得到復習、鞏固和提高，從而提高學習效率，讓學生明白“任何事物都是相互聯(lián)系的”這一哲學道理.

（3）橫向聯(lián)系，開闊視野.數(shù)學學科不是獨立的學科，它與很多其它學科是緊密相聯(lián)系的；在中學數(shù)學例題、習題變式教學中，要注意與其它學科的聯(lián)系，注意培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，讓學生的思維得到遷移，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力

緊扣《考試說明》，萬變不離其宗.這些年來，由于各地市大都實施獨立命題，要做到提高學生對新的考試的適應性和提高教學效果，必須依據(jù)《考試說明》.在中學數(shù)學例題、習題變式教學中，例題、習題的變式要緊扣《考試說明》，要以考鋼為“綱”進行“變”；不要“變”出一些偏離考綱的“繁、難、雜”題目來浪費學生寶貴的學習時間和挫傷學生學習數(shù)學的興趣.

［1］徐汝成.馬登理論及其對數(shù)學教學的啟示［J］.數(shù)學教育學報，2002（1）：48～50.

［2］李善良.論正例和反例對數(shù)學概念學習的影響［J］.中學教研（數(shù)學），2005（9）：1～4.