應(yīng)用MATLAB研究彈簧擺的動(dòng)力學(xué)行為

蔡亮

(南京市第十二中學(xué) 江蘇 南京 210011)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

關(guān)于中學(xué)物理中彈簧擺模型動(dòng)力學(xué)行為的研究，受到同行的普遍關(guān)注.文獻(xiàn)[1]中作者從正確建立物理情境(圖像)的角度對(duì)兩道關(guān)于守恒問(wèn)題的習(xí)題進(jìn)行了深入的分析，而文獻(xiàn)[2]的作者認(rèn)為文[1]的作者對(duì)例1的分析與解是值得商榷的.兩文爭(zhēng)論的焦點(diǎn)題目現(xiàn)呈現(xiàn)如下.

圖1

對(duì)于本題的解題思路文獻(xiàn)[2]給出了合理的解釋，在此不做復(fù)述.下面將深入地探討該類問(wèn)題情境下小球的運(yùn)動(dòng)情況到底怎么樣.

2 動(dòng)力學(xué)方程

建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，并對(duì)小球進(jìn)行受力分析，可以得到兩個(gè)方向上的動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l0，l為形變后的長(zhǎng)度.

而

寫(xiě)成微分方程形式，并消去參數(shù)θ后得到

方程兩邊同時(shí)除以質(zhì)量m后得到

這是一個(gè)二階微分方程組，為便于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，需進(jìn)行降階處理，可以得到4個(gè)一階微分方程構(gòu)成的微分方程組，而且是自治的，如下所示.

說(shuō)明：在以下的數(shù)值模擬中(Matlab 7.0)，我們?nèi)0=1，g=9.8，初始條件x1=1，x2=0，x3=0，x4=0，研究小球的動(dòng)力學(xué)行為隨參數(shù)κ0的變化情況(實(shí)際上取不同的彈簧原長(zhǎng)，動(dòng)力學(xué)行為也是不一樣的).

3 動(dòng)力學(xué)圖像

圖2 不同參數(shù)κ0對(duì)應(yīng)的小球的運(yùn)動(dòng)軌跡圖及相應(yīng)空間圖

4 小結(jié)

參考文獻(xiàn)

1 薛永紅，姜建成.莫要輕視守恒問(wèn)題中的物理圖像.中學(xué)物理，2010(6)

2 許文.錯(cuò)在哪里？物理教師，2011(1)