例談抽象函數(shù)問(wèn)題的『原型』解法

☉湖北省孝感高中 幸 芹

例談抽象函數(shù)問(wèn)題的『原型』解法

☉湖北省孝感高中 幸 芹

所謂抽象函數(shù)，是指沒(méi)有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號(hào)表示的函數(shù).研究抽象函數(shù)問(wèn)題的解法，對(duì)教師的教學(xué)以及學(xué)生深刻理解并牢固掌握函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容有較大的促進(jìn)作用.

抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的，如y=kx（k≠0）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），那么y=kx就可叫作抽象函數(shù)f（x）的“原型”函數(shù).根據(jù)抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到已學(xué)過(guò)的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的某類(lèi)“原型”函數(shù)，并由“原型”函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能具有的某種性質(zhì)使問(wèn)題獲解，我們稱這種解決抽象函數(shù)問(wèn)題的方法為“原型”解法.下面給出高中階段幾種常用的“原型”函數(shù)，并結(jié)合近幾年全國(guó)各地的高考真題展現(xiàn)“原型”解法的實(shí)用性.

一、一次函數(shù)

若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）－b，則f（x）的原型函數(shù)為一次函數(shù)f（x）=kx+b（其中k和b為常數(shù)，k≠0）.

例1（2008年重慶卷）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意的x1，x2∈R，總有f（x1+x2）=［f（x1）+f（x2）］+1，則下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.f（x）為奇函數(shù)B.f（x）為偶函數(shù)

C.f（x+1）為奇函數(shù)D.f（x）+1為奇函數(shù)

解析：由條件，我們可猜測(cè)f（x）的原型函數(shù)為f（x）=x－1，故此題答案為C.

二、二次函數(shù)

若x∈R時(shí)，函數(shù)f（x）滿足f（A+x）=f（A－x），則f（x）的原型函數(shù)為二次函數(shù)f（x）=k（x－A）2+B（其中A、B、k均為常數(shù)，k≠0）.

例2（2009年陜西卷）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意的x1，x2∈（－∞，0］（x1≠x2），有（x2－x1）［f（x2）－f（x1）］＞0，則n∈N*時(shí)，有（）.

A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n+1）

B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n+1）

C.f（n+1）＜f（－n）＜f（n－1）

D.f（n+1）＜f（n－1）＜f（－n）

解析：此題中的f（x）為偶函數(shù)，并且在（－∞，0］上單調(diào)遞增，則我們可以選擇二次函數(shù)f（x）=－x2作為它的原型函數(shù)，故可得到f（n+1）＜f（－n）＜f（n－1），即可選C.

三、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

①若函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）·f（y），則f（x）的原型函數(shù)為指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）.

②若x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），則f（x）的原型函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）.

例3（2007年山東卷）給出下列三個(gè)等式：

下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是（ ）.

A.f（x）=3xB.f（x）=sinxC.f（x）=log2xD.f（x）=tanx

解析：分析題意可以發(fā)現(xiàn)，f（x）=log2x符合等式①，f（x）=3x符合等式②，由兩角和的正切公式可知f（x）=tanx符合等式③，故選B.

四、三角函數(shù)

五、不拘一格，靈活多變

解決抽象函數(shù)的問(wèn)題除運(yùn)用以上所提到的四類(lèi)常見(jiàn)的原型函數(shù)之外，我們還可以根據(jù)題目所給的具體條件，進(jìn)行多種多樣的探索和嘗試.

抽象函數(shù)問(wèn)題的“原型”解法，對(duì)選擇題和填空題特別有效，可以迅速解決問(wèn)題；對(duì)于解答題，也可起到提示思路和檢驗(yàn)結(jié)果正確性的作用.我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要多總結(jié)、多反思、多探索，當(dāng)有新的原型函數(shù)出現(xiàn)時(shí)要及時(shí)收藏，從而壯大自己能夠靈活運(yùn)用的原型函數(shù)的隊(duì)伍，提高解決抽象函數(shù)問(wèn)題的本領(lǐng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各種能力.

例4（2011屆湖北省八校第一次聯(lián)考）已知奇函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的x∈R都有f（2+x）+f（2－x）=0，且f（1）=9，則f（2010）+f（2011）+f（2012）=________.

解析：由條件f（2+x）+f（2－x）=0可知函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)

1.江戰(zhàn)明，黃宗巧.讓“模特兒”在抽象函數(shù)中合法代言.數(shù)學(xué)通訊（教師版），2010，5.

2.李振福.由2009年高考題窺視抽象函數(shù)考查的新動(dòng)向.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009，10.

3.趙建新.一類(lèi)“恒等式型”抽象函數(shù)問(wèn)題的求解.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2010，1.