從一道2012年自主招生“北約”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題談三角形“心”的性質(zhì)

☉安徽省淮南市第三中學(xué) 代 銀 戴晨希

從一道2012年自主招生“北約”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題談三角形“心”的性質(zhì)

☉安徽省淮南市第三中學(xué) 代 銀 戴晨希

2012年自主招生“北約”聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第4題：如果銳角△ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離比.

以下筆者借此題與大家談一談三角形若干“心”的一些性質(zhì).

性質(zhì)1：如圖1，△ABC的外接圓圓心為O，設(shè)O到三角形三邊BC、CA、AB的距離分別為h1、h2、h3，則：

圖1

性質(zhì)2：如圖2，△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，設(shè)O到三角形三邊BC、CA、AB的距離分別為h1、h2、h3，則：

證明：（i）顯然成立.

圖2

性質(zhì)3：如圖3，△ABC的重心為O，設(shè)O到三角形三邊BC、CA、AB的距離分別為h1、h2、h3，則：

證明：設(shè)三角形三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，點M為線段BC的中點.

圖3

性質(zhì)4：如圖4，銳角△ABC中，AD、BE、CF分別是三邊上的高，O為垂心，則：

證明：設(shè)三角形三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c.

圖4