一道解析幾何試題的探究

☉浙江省寧波市鄞江中學(xué) 徐春波

☉浙江省寧波教研室 馮 斌

一道解析幾何試題的探究

☉浙江省寧波市鄞江中學(xué) 徐春波

☉浙江省寧波教研室 馮 斌

這節(jié)課筆者先參加了2011年寧波市教壇新秀評(píng)比活動(dòng)，而后又在2012屆寧波市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討會(huì)上展示．兩次授課的背景不同，前一次授課是筆者于比賽前一天17：00接到通知，得知上課內(nèi)容是“圍繞2010年浙江省高中數(shù)學(xué)會(huì)考第42題面向?qū)幉ㄊ蟹罨呒?jí)中學(xué)高二文科班學(xué)生上一堂課”，并于第二天7：45到比賽地點(diǎn)集中，中途不準(zhǔn)試講．后一次授課是到浙江省慈溪中學(xué)上課面向高三文科班學(xué)生，其間到不同的學(xué)校講了4次．兩節(jié)課面對(duì)的學(xué)生學(xué)情有很大差異，前一節(jié)課面對(duì)的是普通中學(xué)的高二文科班學(xué)生，而且時(shí)間緊準(zhǔn)備不充分，后一節(jié)課面對(duì)的是重點(diǎn)中學(xué)的高三文科班學(xué)生，時(shí)間寬裕準(zhǔn)備較充分．筆者將兩次上課的經(jīng)歷和感受作了對(duì)比，就不同的學(xué)生不同的要求進(jìn)行不同的設(shè)計(jì)，力求在課堂上能抓住學(xué)生的心，讓學(xué)生體會(huì)我們到底應(yīng)該怎樣解題，怎樣能真正理解課堂例題的價(jià)值，體驗(yàn)高效課堂的的魅力所在．

先看試題：（2010浙江省高中數(shù)學(xué)會(huì)考42題）設(shè)點(diǎn)P（m，n）在圓x2+y2=2上，l是過點(diǎn)P的圓的切線，切線l與函數(shù)y=x2+x+k（k∈R）的圖像交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若k=－2，點(diǎn)P恰好是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個(gè)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

圖1

一、市展示課的實(shí)錄

教學(xué)目標(biāo)：

（1）通過對(duì)2010浙江省高中數(shù)學(xué)會(huì)考第42題的探究，理解過圓上一點(diǎn)的切線方程的求法，理解直線與圓錐曲線（拋物線）的位置關(guān)系、弦中點(diǎn)問題的處理方法；理解解析幾何問題解決的通性通法．

（2）通過對(duì)會(huì)考試題的探究，體會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用．

（3）培養(yǎng)學(xué)生在解題訓(xùn)練過程中的興趣及讀題、答題、思題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生克服困難，刻苦鉆研的精神品質(zhì)．

教學(xué)重點(diǎn)：

直線和圓、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的處理．

教學(xué)難點(diǎn)：

弦中點(diǎn)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化；等腰三角形與弦中點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化．

師：今天很高興能來到慈溪中學(xué)上課，這節(jié)課我們通過一道會(huì)考解析幾何試題的探究來談?wù)勗鯓咏忸}．請一位同學(xué)來談?wù)勂綍r(shí)是怎樣解解析幾何試題.

生1：我一般是先看題目，然后整理一下題設(shè)條件，將這些條件串聯(lián)起來，大體上是根據(jù)題意，設(shè)定變量，列式子，求解．（肯定、表揚(yáng)、贊同）

師：很好，請坐．我們來看看著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞對(duì)于怎樣解題的論述．

投影：

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya，1887-1985）.

《怎樣解題》———弄清問題，擬定計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，回顧．

師：對(duì)于同學(xué)們來說怎樣解題，大致可概括為三個(gè)階段：

（1）讀題：分析題意、尋找目標(biāo)、搭建橋梁；

（2）答題：通性通法、一題多解、等價(jià)轉(zhuǎn)化；

（3）思題：知識(shí)落實(shí)、思想方法、類比推廣、一般化．

考題欣賞：（2010浙江省高中數(shù)學(xué)會(huì)考第42題）

設(shè)點(diǎn)P（m，n）在圓x2+y2=2上，l是過點(diǎn)P的圓的切線，切線l與函數(shù)y=x2+x+k（k∈R）的圖像交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若k=－2，點(diǎn)P恰好是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（一）讀題階段

師：請同學(xué)分析題設(shè)主要條件．

生2：（1）點(diǎn)P在圓上；（2）l是過點(diǎn)P的圓的切線；（3）l與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；（4）點(diǎn)P是弦AB中點(diǎn).

師：再請一個(gè)同學(xué)逐個(gè)解釋這些條件，如何搭建橋梁呢？

生3：第一個(gè)條件“點(diǎn)P在圓上”，可以得到m2+n2=2；

第二個(gè)條件“l(fā)是過點(diǎn)P的圓的切線”，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑解決；

第三個(gè)條件“l(fā)與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)”，聯(lián)立方程，利用判別式大于零解決；

設(shè)計(jì)意圖：

通過學(xué)生自主讀題，尋找目標(biāo)，從而搭建橋梁，為答題服務(wù).

師：太厲害了.我們解題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到困難，當(dāng)我們遇到困難的時(shí)候，通?？梢园汛箢}化小，小題化了，同時(shí)不斷鼓勵(lì)自己，我能成功，我一定能成功.下面我們來化解一下這道題目中的一個(gè)小小困難.

投影：

拋磚引玉：過圓x2+y2=2上一點(diǎn)P（m，n）作圓的切線，則該切線方程是______.

師：默默等待…

（學(xué)生展示解法）

師：非常完整，體現(xiàn)了分類討論的思想

生5：（方法2）如果設(shè)定直線的一般方程Ax+By+C=0就可避免討論，可是運(yùn)算還是繁了點(diǎn).

師：我看到確有同學(xué)這樣做了，很好.

師：相當(dāng)精彩，數(shù)形結(jié)合，恰到好處.

生7：我們可以把這一結(jié)論推廣一下：過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（m，n）的切線方程是mx+ny=r2，還可以推廣到一般位置的圓.

師：太美了，還有增值產(chǎn)品.總之我們得出結(jié)論：過圓x2+y2=2上一點(diǎn)P（m，n）的切線方程是mx+ny=2.這里我們就不進(jìn)一步發(fā)散了，回到題目.

設(shè)計(jì)意圖：

放手讓學(xué)生去做，去表達(dá)自己的觀點(diǎn)，教師在一旁贊揚(yáng)、欣賞、點(diǎn)評(píng)，和諧課堂.

（二）答題階段

師：點(diǎn)P是弦AB中點(diǎn)，而A、B是切線l與函數(shù)圖像的交點(diǎn)，只需怎么辦？（函數(shù)與方程思想）

生：（齊）聯(lián)立方程.

師：還有其他辦法嗎？（中點(diǎn)弦問題——點(diǎn)差法）

生：（齊）點(diǎn)差法.

師：請同學(xué)們先解一下第一小題.（投影學(xué)生解答過程）

師：這里給出解法1（方程思想），解法2（點(diǎn)差法）就不進(jìn)行展開了.

（板書）

師：怎樣解上面的方程組？請同學(xué)們合作交流一下，前后四個(gè)同學(xué)為一組合作解決，隨后展示答案.

組1：（方法1）①+②得（m+n）2+（m+n）－2=0，解得m+n=－2或m+n=1.

組2：（方法2） ②式配方（m+n）2－2mn=2，m+n=－2mn代入可得：2（mn）2－mn－1=0，答案同上.

師：以上兩組同學(xué)的解法都很好，都關(guān)注到了運(yùn)算求解中的整體性.剛才說了直線l與函數(shù)圖像相交兩個(gè)交點(diǎn)要有Δ判別式來保證.我們只需逐個(gè)代入到判別式檢驗(yàn)，怎樣檢驗(yàn)比較方便？

師：（提出反思）從方程的角度我們檢驗(yàn)了點(diǎn)P的坐標(biāo)，這是“數(shù)”的體現(xiàn).能不能從幾何的角度，即從“形”的角度來驗(yàn)證一下呢？

投影圖片：

問題：此時(shí)給出三點(diǎn)坐標(biāo)位置，請分析圖像情況.

生8：圖中有兩個(gè)切點(diǎn)P的位置在拋物線張口內(nèi)部符合，另一點(diǎn)P在張口外部不符合.

圖2

投影：

問題：當(dāng)拋物線y=x2+x+k（k∈R）方程中的k發(fā)生變化時(shí)，拋物線圖像怎樣變換？能不能使三個(gè)點(diǎn)P都符合題設(shè)條件？只需拋物線的圖像怎樣變換？能不能只有一個(gè)？0個(gè)？

（學(xué)生參與熱情高漲）

生9：方程中k的值決定了拋物線的上下位置，如果將拋物線的位置整體往上移動(dòng)，可能就只有一個(gè)或者0個(gè)，如果向下平移則可能有3個(gè).

師：（展示動(dòng)畫）

設(shè)計(jì)意圖：

圍繞三個(gè)階段中的第二階段，設(shè)計(jì)一組問題，以問題驅(qū)動(dòng)解決問題，滲透思想方法.

師：相當(dāng)精彩，請坐.解決了第一小題，我們來欣賞一下數(shù)學(xué)大師華羅庚先生的名言.

投影：

華羅庚：面對(duì)懸崖峭壁，一百年也看不出一條縫來，但用斧鑿，得進(jìn)一寸進(jìn)一寸，進(jìn)一尺進(jìn)一尺，不斷積累，飛躍必來，突破隨之.

設(shè)計(jì)意圖：

一系列的問題解決之后，欣賞一段數(shù)學(xué)大師華羅庚先生的名言，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)大師們身上的優(yōu)秀數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師：在給出第二小題之前，再提兩個(gè)問題.

投影：

問題（1）連接OA，OB，當(dāng)P恰為線段AB中點(diǎn)時(shí)，△OAB是什么三角形？怎樣判斷？

生10：是等腰三角形，可以利用AB⊥OP.

投影：

問題（2）反之，當(dāng)△OAB是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)嗎？

生：（齊）是的.

師：很好，有了大家的共識(shí)，接下去給出第二小題.

設(shè)計(jì)意圖：

以大化小，自然過度，逐個(gè)擊破，滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.期待學(xué)生回答出答案，自然轉(zhuǎn)入第二小題.

投影：

第二小題：（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個(gè)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.

師：請同學(xué)來說一說這一小題怎樣解？

生11：“等價(jià)轉(zhuǎn)化”△OAB為等腰三角形?點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)；△OAB為等腰三角形恰有三個(gè)?點(diǎn)P恰有三個(gè)：

師：很好，請同學(xué)們操作一下.

投影：

學(xué)生作答：

師：觀察上述方程組，字母k運(yùn)算有無特點(diǎn)？

生：（齊）解方程組中沒有參與運(yùn)算.

師：依第一小題可得三組解.

（三）思題階段

師：這里略去解答不等式組的過程，直接給出答案.其實(shí)我們可以借助圖像來揭示題目的本源：0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)都有可能，這是什么原因呢？請同學(xué)們結(jié)合兩元兩次方程組的解來體會(huì)一下.

生12：從圖像看可以移動(dòng)拋物線的位置，也可以改變圓的位置，結(jié)合方程組的解至多有四組，因此這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)是可以變化的.

師：很好圖形不但可以平移變換，當(dāng)然還可以伸縮變換.我們從方程的角度確實(shí)可以解釋這個(gè)幾何圖形，可見數(shù)形確實(shí)不能分家?。。ㄟm時(shí)動(dòng)畫演示，揭示本質(zhì).）

投影動(dòng)畫：

師：下面我們以發(fā)散性思維思考這道題目.我們從以下四個(gè)方面來反思題目：（1）思考題目落實(shí)的知識(shí)點(diǎn)；（2）思考題目的解法；（3）思考問題的本源；（4）思考題目的變式.

師：首先題目落實(shí)的知識(shí)點(diǎn)有哪些呢？

生13：過圓上一點(diǎn)圓的切線，弦中點(diǎn)問題，等腰三角形等問題.

師：題目主要涉及哪些解法？

生13：韋達(dá)定理的應(yīng)用，點(diǎn)差法的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

師：問題的本源可以怎樣揭示？

生13：從方程的角度和曲線的位置角度兩個(gè)方面來理解，這里等腰三角形的個(gè)數(shù)其實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)方程解的個(gè)數(shù).（再次適時(shí)動(dòng)畫演示，揭示本質(zhì).）

設(shè)計(jì)意圖：

動(dòng)態(tài)演示，數(shù)形結(jié)合，直觀感知，加深理解，理解實(shí)質(zhì).

師：很好.其實(shí)我們解題的較高境界是觸類旁通，加強(qiáng)變式訓(xùn)練必不可少.那么這道題

圖3

目有沒有變式呢？可以怎么變呢？

生14：將圓改為橢圓，其余條件和結(jié)論不變.

師：很好，改變其中一個(gè)曲線的形狀，顯然可以.

投影：

生15：將拋物線的對(duì)稱軸移動(dòng)一下，其余條件不變.

師：很好，改變拋物線的位置而圓不動(dòng)，顯然可以.同學(xué)的想象力是值得稱贊的.

投影：

師：老師思維也來發(fā)散一下.能不能將圓的切線改為圓的割線，分別交拋物線于A、B，且線段AB恰好被圓三等分？

投影：

是否存在直線l交拋物線與A、B，線段AB恰好被圓三等分，若存在，求出該直線方程；若不存在，說明理由.

師：這個(gè)問題就留給同學(xué)們課后研究了，下面我們小結(jié)一下這節(jié)課.

投影：

（1）這堂課體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想？

（2）我們學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法？

（3）培養(yǎng)了我們怎樣的學(xué)習(xí)精神？

生16：體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、方程思想等；學(xué)到了解方程中整體處理、觀察、猜想、類比等方法；培養(yǎng)了我們克服困難迎難而上、鉆研精神等優(yōu)秀的學(xué)習(xí)品質(zhì).

師：（作業(yè)）請同學(xué)們課后繼續(xù)深入探究這道題目.

圖4

圖5

二、課堂環(huán)節(jié)處理上的對(duì)比

對(duì)比1：引入環(huán)節(jié)上的不同

比賽課時(shí)引用數(shù)學(xué)家喬治·波利亞的名言是想引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于解題一般過程的回顧，比較單薄.

展示課中增加了教師對(duì)讀題、答題、思題的三個(gè)環(huán)節(jié)說明，一條主線貫穿整節(jié)課，就是讓學(xué)生知道這節(jié)課的主題是“我們應(yīng)該怎樣解一道題”，一節(jié)課下來讓高三學(xué)生對(duì)自己平時(shí)的解題習(xí)慣來一次反思，引起共鳴.

對(duì)比2：“圓上一點(diǎn)的切線方程的求解”課堂教學(xué)手法上的不同

比賽課時(shí)為了考慮降低學(xué)生對(duì)此題的入口難度設(shè)計(jì)了過圓上一點(diǎn)求切線方程，從而為解答此題服務(wù).其實(shí)普通中學(xué)的高二學(xué)生對(duì)于“過圓x2+y2=2上一點(diǎn)P（m，n），求圓的切線方程”短時(shí)間內(nèi)獨(dú)立完成是比較困難的，筆者通過追問學(xué)生①怎樣設(shè)定直線方程？②設(shè)定方程時(shí)要注意什么細(xì)節(jié)問題？③相切的幾何關(guān)系怎樣處理？④直線方程的形式可以怎樣化簡？可以說是問答式的老模式教學(xué).

比賽課時(shí)顧及學(xué)生的運(yùn)算能力有欠缺，擔(dān)心學(xué)生對(duì)兩元兩次方程組的解法不熟悉，沒敢大膽地放手讓學(xué)生去處理，而是教師較為粗略的說明方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)而給出答案，實(shí)際情況是學(xué)生沒能真正參與運(yùn)算，因而課堂漏洞較多.

展示課中吸取了前面講課過程中學(xué)生解方程組不熟練的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，設(shè)計(jì)讓學(xué)生分組合作討論解法并以小組形式給出解答方案，使學(xué)生體會(huì)合作學(xué)習(xí)的樂趣，從而化簡課堂教學(xué)的中的一個(gè)難點(diǎn).

對(duì)比4：“檢驗(yàn)點(diǎn)P坐標(biāo)是否符合題意”的不同

展示課中，在之前基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)追問環(huán)節(jié)，當(dāng)拋物線y=x2+x+k（k∈R）的k發(fā)生變化時(shí)，圖像怎樣變換？能不能使三個(gè)點(diǎn)P都符合題設(shè)條件？只需拋物線的圖像怎樣變換？能不能只有一個(gè)？0個(gè)？隨后以課件來展示動(dòng)畫，動(dòng)靜結(jié)合，加深學(xué)生對(duì)命題人出題意圖的理解.

對(duì)比5：“第一小題與第二小題過度”上的不同

比賽課時(shí)為了速戰(zhàn)速?zèng)Q直接給出第二小題，學(xué)生在等價(jià)處理上顯然是有一定難度的，很多同學(xué)對(duì)于“△OAB為等腰三角形”與“點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)”無法正確的溝通，因而斷電、冷場，這時(shí)需要教師介入，覺得比較被動(dòng).

展示課中針對(duì)這一難點(diǎn)在處理手法上設(shè)計(jì)兩個(gè)小問題，問題（1）連接OA，OB，當(dāng)P恰為線段AB中點(diǎn)時(shí)，△OAB是什么三角形？怎樣判斷？問題（2）反之，當(dāng)△OAB是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)嗎？其實(shí)是第二小題的一種等價(jià)轉(zhuǎn)化，學(xué)生很容易接受，至于第二小題的解答也就沒有太大困難了.

對(duì)比6：“思題環(huán)節(jié)上”的不同

比賽課時(shí)主要是反思題源，結(jié)合動(dòng)畫演示，帶領(lǐng)學(xué)生探求題目的本源，深刻體會(huì)考題的價(jià)值，可以說是形式上的展示，學(xué)生只是欣賞并沒有參與其中.

展示課中思題的變式環(huán)節(jié)完全有學(xué)生掌控，一個(gè)學(xué)生提出

教法變圓為橢圓，另一學(xué)生提出拋物線的位置可左右平移，再到教師提出變圓的切線為割線，是否存在線段AB恰好被圓三等分的情況．讓學(xué)生帶著疑問離開教室，其實(shí)正是高效學(xué)習(xí)所要追求的．

筆者通過先后兩次針對(duì)不同的對(duì)象的嘗試，深刻體會(huì)到課堂上怎樣讓學(xué)生感到“過癮”，什么是學(xué)生真正想要的，針對(duì)不同的學(xué)情的學(xué)生思考問題的角度和方法的差異我該如何設(shè)計(jì)、如何處理，等等這些疑問的的確確需要時(shí)間來學(xué)習(xí)和反思．

三、點(diǎn)評(píng)

聽了徐老師同一節(jié)課兩次，總體感覺是出奇出彩，高效精品．前一次課面向的是廣大的農(nóng)村普通學(xué)校的學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，要解決這么一道省會(huì)考試確實(shí)很是吃力，更何況這次教壇新秀評(píng)比的要求比較高，就是要體現(xiàn)選手的處理教學(xué)內(nèi)容的真實(shí)能力．后一次課面向的是省重點(diǎn)高中的學(xué)生，徐老師作出了很大的改變，條理清晰過程流暢、嚴(yán)謹(jǐn)，預(yù)設(shè)充分因而能鎮(zhèn)定處理課堂上學(xué)生的突發(fā)奇想．

這種復(fù)習(xí)課的模式是值得借鑒和提倡的，可謂低能耗高效率．課堂時(shí)間是等長的，學(xué)生的研討思維活動(dòng)是很緊張的，投入的智慧是巨大的，但由于教者科學(xué)性與藝術(shù)性相結(jié)合的教學(xué)方式，學(xué)生感覺到的卻是一種輕松活潑，一種充滿成就的愉悅，一種在不知不覺間的發(fā)展提升．與所謂“大運(yùn)動(dòng)量的題海訓(xùn)練、疲憊與厭惡并存”的教學(xué)方式相比，這不就是一種“低能耗”嗎？教者經(jīng)過充分準(zhǔn)備，在課堂上通過學(xué)生放開手腳的鋪陳演繹，上演了一出精彩紛呈的“大戲”．學(xué)生由衷地贊嘆“收獲太大了”，且有“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”之感嘆，這是對(duì)高回報(bào)極有力的證明．筆者在仔細(xì)閱讀“品嘗”了這節(jié)課的教學(xué)過程后，不禁為此次成功的探索嘗試大聲叫好．高中數(shù)學(xué)教學(xué)、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)太需要如此的教學(xué)方式了！縱觀此節(jié)課，有限的教學(xué)資源得到了充分的開發(fā)和利用．回頭看看，在讀題、答題、思題整個(gè)過程中，涉及了哪些知識(shí)、技能、思想方法、思維的深刻性、敏捷性、創(chuàng)造性等重要內(nèi)容都在自然流暢的教學(xué)情境中得到有機(jī)的融合．可謂高效精品．