一種基于奇異值分解技術(shù)的模型定階方法

王樹青， 林裕裕，孟元棟，高志強

(1.中國海洋大學 山東省海洋工程重點實驗室，青島 266100;2.海洋石油工程股份有限公司，天津 300451)

目前，基于動力特性變化的結(jié)構(gòu)健康檢測正受到國內(nèi)外學者的重視，而模態(tài)參數(shù)識別非常關(guān)鍵。如果識別的模態(tài)參數(shù)存在較大的誤差或存在虛假模態(tài)，這勢必會影響到結(jié)構(gòu)健康檢測結(jié)果。模態(tài)參數(shù)識別方法一般都是基于一定的系統(tǒng)模型的，如ARMA是基于時間序列模型，SSI和ERA是基于狀態(tài)空間模型。因此要準確識別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，就需要確定系統(tǒng)的階次(或參與的模態(tài)數(shù))。當前，模型階次的確定已經(jīng)成了模態(tài)參數(shù)識別中非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。此外由于測試數(shù)據(jù)不可避免地包含大量噪聲，這給模態(tài)參數(shù)識別中模型階次的確定造成了很大的困難。合理地確定模型階次已成為模態(tài)參數(shù)識別領(lǐng)域的最為重要的問題。

目前，對模態(tài)參數(shù)識別中模型階次的確定問題，已經(jīng)出現(xiàn)了一些研究方法，如穩(wěn)定圖法［1－2］。該方法通過在頻譜圖上標示出滿足一定條件的穩(wěn)定極點，并被認為是系統(tǒng)的真實極點。但這種方法不能完全排除噪聲模態(tài)，特別是隨著模型階數(shù)的升高，一些擬合模型的擬合模態(tài)往往容易趨于穩(wěn)定，用穩(wěn)定圖很難完全并正確確定模型階次［3］。近來，基于奇異值分解的模型定階與降噪技術(shù)［4－6］又引起了國內(nèi)外有關(guān)專家的重視。該類方法一般將奇異值由大到小按降序排列，并將奇異值以最大值歸一化，通過畫出奇異值歸一化曲線，在曲線上找到突降的位置，該處對應的奇異值個數(shù)即為模型階次，也即信號中包含模態(tài)數(shù)目的兩倍。對受噪聲影響的數(shù)據(jù)，奇異值曲線突降不明顯，而是趨向于一條水平漸近線。一般認為奇異值曲線開始變?yōu)樗降狞c對應模型的階次［4－6］。在如何有效確定奇異值曲線突變點上，又發(fā)展了奇異譜技術(shù)、奇異熵定階技術(shù)等［7－9］。易偉建［10］提出了一種動力系統(tǒng)模型定階方法一殘差期望法。該方法利用系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)建立Hankel矩陣，對其進行奇異值分解后，構(gòu)造殘差期望比。在模型階次處，殘差期望會由偏離零值較大變化到接近于零，因此會在此處出現(xiàn)較大的殘差期望比。因此在殘差期望變化處或殘差期望比的最后一個尖峰處則為可判定模型的真實階次。趙學智［11－12］提出了利用奇異值差分譜、奇異值曲率譜的概念來描述含噪信號的奇異值曲線的轉(zhuǎn)折點情況，進而利用奇異值曲線的最大轉(zhuǎn)折點來確定有效奇異值的個數(shù)。

本文提出利用奇異值的相對變化率來確定模型的階次。該方法利用結(jié)構(gòu)的量測脈沖響應信號構(gòu)造Hankel矩陣，對其進行奇異值分解后計算奇異值的相對變化率，變化率最大的地方對應著模型的階次。通過數(shù)值算例研究了量測噪聲對模型階次確定的影響，并利用某懸臂梁實驗數(shù)據(jù)驗證了本方法的有效性。

1 奇異值分解技術(shù)與模型階次確定

某離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

其中:A、B、C分別為系統(tǒng)的特征矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。當輸入為脈沖激勵時，輸出脈沖響應數(shù)據(jù)Yk可表示為:

利用脈沖響應序列構(gòu)建Hankel矩陣，得到:

其中:m、n分別為Hankel矩陣的行數(shù)和列數(shù)。對H(0)進行奇異值分解，得到:

式(4)中，上標“T”表示矩陣轉(zhuǎn)置;矩陣U和V為正交矩陣;∑為對角矩陣，其對角元素為降序排列的奇異值。理論上，超出矩陣秩的奇異值應當為零，即矩陣H的秩恰好等于模型的階數(shù)r，此時:

式(5)中，R=min{m，n}?？梢钥闯?，奇異值在模型的階次r處會產(chǎn)生突降。然而當量測信號受到噪聲污染時，非零奇異值的個數(shù)遠大于模型的階數(shù)r，但此時大于模型階次的奇異值都是噪聲的貢獻，其值一般都很小，如果選擇一個合適的臨界值ε，使得公式(6)成立，即可以確定模型的階次。

由于噪聲的影響，奇異值在模型的階次處突降變得不是很明顯，一般通過觀察奇異值曲線，將開始趨向于一條水平漸近線的地方定義為模型的階次。這種通過肉眼觀察的方法在噪聲較小的情況下還是適用的;但當噪聲變大時，通過肉眼觀察也很難確定模型的階次。能否提出一個量化的模型階次指標來確定模型的階次呢?本文提出利用奇異值的相對變化率來作為模型階次指標，即定義模型階次指標為:

由于奇異值是降序排列的，在突降點大的地方，模型階次指標MOCi也是一個大值，即定義模型階次指標MOCi最大值對應的階次為模型的階次。其優(yōu)點為利用一個量化的指標來確定模型階次，避免了肉眼觀察帶來的失誤。

2 五自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)

2.1 數(shù)據(jù)的模擬

采用文獻［6］中的數(shù)值算例，建立一個五自由度的質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)的數(shù)值模型如圖1所示。單元的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)分別為mn=50kg、kn=2.9×107N/m、cn=1000 N·s/m。通過特征值分析，可以得到模態(tài)頻率的理論值為:34.499Hz、100.700Hz、158.730Hz、203.880Hz、232.520Hz;5 階模態(tài)阻尼比的理論值為:0.0037374、0.010909、0.017197、0.022092、0.025198。

圖1 五自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)Fig.1 Mass-spring-damper system

在第一自由度輸入單位脈沖激勵，從而可以計算系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)。采用Matlab編制程序，得到系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)和頻率響應函數(shù)，如圖2所示，其中采樣頻率為500Hz。頻率響應函數(shù)共有5個峰值，分別對應著5階模態(tài)頻率;另外也可以看出，第5階模態(tài)(頻率為232.520Hz)不明顯，即該階模態(tài)對脈沖響應的貢獻非常小。

2.2 噪聲對模型定階的影響

在沒有噪聲影響的情況下，取128個點(27個點)的第1自由度脈沖響應序列構(gòu)建 Hankel矩陣(H64×64)，對其進行奇異值分解，得到歸一化的奇異值曲線如圖3(a)所示。從中可以看出奇異值曲線在第10個奇異值處出現(xiàn)陡降，其后面的奇異值接近于零，即判定該模型的階次為10階(模態(tài)自由度的2倍)。利用歸一化的奇異值計算奇異值的相對變化率——模型階次指標，如圖3(b)所示。很明顯，模型階次指標的最大值正好對應10階。用模型階次指標可以很好地確定該模型的正確階次。

實測信號不可避免地會受到各種噪聲的影響。為了研究不同程度的噪聲對模型階次的影響，利用Matlab模擬了高斯白噪聲，疊加到脈沖響應序列中。噪聲水平通過一個百分比來定量描述，該百分比定義為白噪聲的標準差和精確信號的標準差之比。

分別模擬1%、2.5%、5%、10%、20%的噪聲，疊加到脈沖響應序列中，然后進行模型階次計算，計算結(jié)果如圖4所示。圖4中，左側(cè)為不同噪聲水平對應的歸一化奇異值曲線，右側(cè)為對應不同噪聲的模型階次指標?？梢钥闯?，隨著量測噪聲的增強，模型階次指標的最大值在減小，也就是說奇異值曲線中的突降點變化越來越小，如左圖所示。當噪聲較小時(如小于10%)，利用模型階次指標可以很好地確定模型的階次為10。當量測噪聲變大時，可以判定模型階次由10變成了8，即丟失了1階模態(tài)。這點可以從圖2中的頻率響應函數(shù)得到解釋。如前所述，第5階模態(tài)的峰值不明顯，對脈沖響應的貢獻較小，更容易受到噪聲的干擾。在噪聲較嚴重時，第5階模態(tài)已經(jīng)完全被噪聲淹沒了，所以模型的階次由10降到了8。同時也可以看出，隨著噪聲程度的增加，按照傳統(tǒng)的方法(比如按照奇異值趨于一條水平漸近線的地方)來定義模型階次，越來越困難;因為隨著噪聲程度的增加，奇異值趨于一條水平漸近線地方并不明顯，如圖4所示。

圖4 不同噪聲情況下的奇異值曲線與模型階次指標(數(shù)據(jù)長度:27個點)Fig.4 Normalized singular values and model order indicators with different noise level(data length:27points)

2.3 數(shù)據(jù)長度對模型階次的影響

2.2 節(jié)利用128個點(27個點)的脈沖響應數(shù)據(jù)進行模型階次確定。為了研究數(shù)據(jù)長度對模型階次確定的影響，分別取64(26個點)、256(28個點)進行計算，研究歸一化奇異值曲線與模型階次指標的變化(篇幅所限，圖形未列出)。研究發(fā)現(xiàn)隨著脈沖響應序列數(shù)據(jù)長度的增加，模型階次越容易受到噪聲的影響。

3 海洋平臺模型

為了檢驗本文提出的模型定階方法的有效性，下面考慮一個更加復雜的三維空間結(jié)構(gòu)數(shù)值算例。該空間結(jié)構(gòu)為某海洋平臺模型，如圖 5所示，圖中的數(shù)字為模型的節(jié)點編號?？紤]到實際海洋平臺的阻尼比一般都不大，取前兩階阻尼比為0.01來確定比例阻尼系數(shù)α和β。平臺模型的前6階頻率如表1所示。

圖5 海洋平臺模型Fig.5 The finite element model of an offshore platform

表1 海洋平臺模型的前6階頻率(Hz)Tab.1 The first six natural frequencies of the offshore platform model(Hz)

在節(jié)點29同時施加x和y向脈沖激勵，計算各個節(jié)點的脈沖響應，其中采樣頻率為20Hz，采樣點數(shù)為1024點。然后疊加不同程度的噪聲，研究模型定階的有效性。

首先研究沒有噪聲干擾情況下的模型定階。對三維空間結(jié)構(gòu)，水平振動響應分為x向和y向。分別取128個點(27個點)的x向和y向脈沖響應數(shù)據(jù)進行模型階次確定，結(jié)果如圖6和圖7所示，其中(a)為脈沖響應，(b)頻率響應函數(shù)，(c)為模型階次。從圖中可以看出，利用x向和y向脈沖響應數(shù)據(jù)確定的模型階次都是8，即都包含了4階模態(tài)。分析圖6(b)可以看出，這4階模態(tài)分別為x向1階彎曲模態(tài)、1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)、x向2階模態(tài)與2階扭轉(zhuǎn)模態(tài)。而圖7(b)中的4階模態(tài)分別為y向1階彎曲模態(tài)、1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)、y向2階模態(tài)與2階扭轉(zhuǎn)模態(tài)。

圖6 x向脈沖響應模型定階Fig.6 Model order using x-dir impulse

圖7 y向脈沖響應模型定階Fig.7 Model order using y-dir impulse

如第2節(jié)，分別模擬1%、2.5%、5%、10%、20%的噪聲，疊加到x向脈沖響應序列中，然后進行模型階次計算，計算結(jié)果如圖8所示。可以看出，隨著量測噪聲的增強，模型階次指標的最大值在減小，但始終可以確定模型階次為8。在不同噪聲水平下，利用y向脈沖響應進行模型階次確定結(jié)果同圖8類似，由于版面限制沒有列出。同2.3節(jié)類似，分別采取數(shù)據(jù)長度為26、27、28等不同時長的脈沖響應進行模態(tài)階次確定，研究發(fā)現(xiàn)，對本節(jié)的三維空間結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)長度對模型階次確定的影響非常小。

圖8 不同噪聲影響x向脈沖響應模型定階Fig.8 Model order determination using x-dir impulse under different noise level

4 實驗數(shù)據(jù)檢驗

為了驗證本文提出方法的有效性，采用某懸臂梁進行沖擊實驗，布置傳感器量測其振動響應，采樣頻率為200Hz。圖9(a)為量測的脈沖響應，圖9(b)為其頻響函數(shù)，可以看出在100Hz以內(nèi)共有3階模態(tài)，其頻率分別為 5.52Hz、34.71Hz、97.2Hz。圖10 為其歸一化奇異值曲線和模型階次指標，可以看出，利用本文提出的模型階次指標可以很容易確定的模型的階次為6(即包含的3階模態(tài)的2倍)。同時從圖10中也可以發(fā)現(xiàn)，如果利用奇異值趨于水平漸近線不容易確定模型的正確階次。

5 結(jié)論

(1)利用結(jié)構(gòu)的量測脈沖響應信號構(gòu)造Hankel矩陣，利用奇異值分解技術(shù)得到其奇異值，提出利用奇異值的相對變化率來確定模型的階次。數(shù)值算例和模型實驗數(shù)據(jù)驗證了本方法的有效性。

(2)利用一個簡單的5自由度體系和一個三維的空間結(jié)構(gòu)數(shù)值算例數(shù)據(jù)研究了噪聲程度對模型階次確定的影響。研究發(fā)現(xiàn)隨著噪聲強度的增加，對響應貢獻較小的模態(tài)容易受到噪聲干擾，此時模型的階次的確定會受到影響。在5自由度系統(tǒng)中，第5階模態(tài)對脈沖響應的貢獻較小，在較大的噪聲情況下被湮沒，因此模型階次確定中無法包含此階模態(tài);而對海洋平臺數(shù)值算例則沒有出現(xiàn)此種情況。

(3)利用2個數(shù)值算例進行了數(shù)據(jù)長度對模型階次確定的研究。研究發(fā)現(xiàn)，對簡單5自由度系統(tǒng)，隨著數(shù)據(jù)量的增加，噪聲對模型階次的影響也在加劇。但對復雜的三維空間結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)長度對模型階次確定的影響非常小。從應用的角度來說，建議可以采用幾種不同的數(shù)據(jù)長度通過比較來確定模型的階次。

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