《線性代數(shù)》中矩陣秩的幾點(diǎn)補(bǔ)充

王宏興，張娜娜（.淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽淮南3038；.阜陽(yáng)市穎東區(qū)趙店中學(xué)，安徽阜陽(yáng) 36000）

《線性代數(shù)》中矩陣秩的幾點(diǎn)補(bǔ)充

王宏興1，張娜娜2
（1.淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽淮南232038；2.阜陽(yáng)市穎東區(qū)趙店中學(xué)，安徽阜陽(yáng) 236000）

秩是矩陣的主要特征之一，是《線性代數(shù)》教學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一。對(duì)《線性代數(shù)》中關(guān)于矩陣秩的內(nèi)容給出幾點(diǎn)補(bǔ)充：簡(jiǎn)述初等變換在矩陣秩研究中的重要性、矩陣秩相關(guān)研究的最新進(jìn)展及其在多個(gè)數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用。

矩陣；秩；初等變換

1879 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯（Ferdinand Georg Frobenius）在其論文《On linear substitutions and bilinear forms》中首次引入“rank”（秩）一詞。秩是矩陣的主要特征之一。秩是《線性代數(shù)》教學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，在眾多的數(shù)學(xué)分支中被廣泛應(yīng)用。

本文主要目的是對(duì)本科教材《線性代數(shù)》中關(guān)于矩陣秩的內(nèi)容給出幾點(diǎn)補(bǔ)充：應(yīng)用初等變換給出的秩的一些結(jié)論、簡(jiǎn)述秩研究的最新進(jìn)展及其在眾多領(lǐng)域應(yīng)的應(yīng)用等。希望通過(guò)這里的定理、例題和簡(jiǎn)介，使學(xué)生了解初等變換在秩研究中的重要性、秩在各數(shù)學(xué)分支研究中的應(yīng)用、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

1 秩與初等變換

矩陣初等變換是研究矩陣秩的主要工具之一，是矩陣論中教學(xué)中要求學(xué)生理解并熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)之一。但是，多數(shù)學(xué)生對(duì)矩陣初等變換僅僅停留在理解的層面上，沒(méi)有在實(shí)質(zhì)意義上理解矩陣初等變換。究其原因是沒(méi)有認(rèn)真地思考、深入地研究在矩陣被實(shí)施初等變換后所帶給矩陣的深刻變化。本小節(jié)首先給出矩陣秩的定義、矩陣初等變換的基本性質(zhì)、運(yùn)用初等變換證明Frobenius秩不等式，最后列出若干個(gè)運(yùn)用初等變換給出的結(jié)果。

定義1設(shè)A∈Fm×n.若A有一個(gè)r階子式不為0，且A的所有r+1階子式（假設(shè)A有r+1階子式）全為0或不存在，則稱r為A的秩，記作rank（A）=r。若A=0，規(guī)定rank（A）=0。

定理1初等變換不改變矩陣的秩。

定理2（Frobenius秩不等式）設(shè)A∈Fm×n，B∈Fn×t, C∈Ft×s，則

rank（ABC）≥rank（AB）+rank（BC）-rank（B）。證因?yàn)?/p>

所以，由定理1得

故Frobenius秩不等式成立。

在文[1]中Y.Tian和G.P.H.Styan進(jìn)一步的研究Frobenius秩不等式，給出如下等價(jià)關(guān)系：

rank（ABC）=rank（AB）+rank（BC）-rank（B）等價(jià)于

等價(jià)于

存在X和Y滿足BCX+YAB=B。

在定理2中取B:=In，C：=B,則得Sylvester秩不等式。

定理3（Sylvester秩不等式）設(shè)A∈Fm×n，B∈Fn×t，則

rank（ABC）≥rank（A）+rank（B）-n。

下面的三個(gè)秩等式定理是最近發(fā)表在學(xué)術(shù)期刊上的，其證明可以從參考文獻(xiàn)得到，這里我們不一一贅述。其中In表示n階單位矩陣。

定理4[1，2]設(shè)A∈Fm×n，則rank（A-A3）=rank（A）+rank（Im+A）+rank（Im-A）-2m

如果是可逆的，則有

定理6[2]設(shè)P∈Fm×m，Q∈Fn×n，A∈Fm×n其中P，Q是冪等矩陣，則

這些結(jié)果漂亮而且深刻，證明的過(guò)程需要運(yùn)用較強(qiáng)的技巧去構(gòu)造分塊矩陣和靈活運(yùn)用定理1。有興趣的學(xué)生自己給出證明，體會(huì)證明的技巧和關(guān)鍵。

下面給出文[4]的一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的秩等式，更多的相關(guān)秩等式及其研究可以見(jiàn)[4]。

定理7[4]設(shè)A∈Fm×n，X1AX1=X1和X2AX2=X2。則有關(guān)于以下秩等式成立：

2 秩的應(yīng)用

大量的秩等式和秩不等式在不同的領(lǐng)域被廣泛的運(yùn)用來(lái)處理各種問(wèn)題。以下我們給出在秩等式和秩不等式在矩陣方程解的存在性、數(shù)值計(jì)算等幾方面的應(yīng)用。

例2矩陣方程有解有解等價(jià)于

應(yīng)用秩表示矩陣方程解的存在性的結(jié)果還有眾多。例如在文[1]中給出：A-BX-YC=0=m有解等價(jià)于

應(yīng)用秩和慣性指數(shù)描述等矩陣不等式解存在性的結(jié)論可以在文[5]中查閱（這類不等式在控制論中被廣泛研究和應(yīng)用）。

證明：若di=di+1，則di是A的一個(gè)特征值。

證明：由于

3 結(jié)論

秩在眾多相關(guān)學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用，如文[7-10]給出秩在統(tǒng)計(jì)模型上的應(yīng)用、文[11]給出了矩陣秩和慣性指數(shù)在控制論中的應(yīng)用以及背景介紹等。數(shù)學(xué)家在不同領(lǐng)域應(yīng)用不同的方法研究秩，取得了豐碩的成果。如田永革、劉永輝等應(yīng)用初等變換研究秩等式及其應(yīng)用[1-5，7-9，12]；AIM Minimum Rank-Special Graphs Work Group等在圖論中研究秩及其應(yīng)用[13，14]；王卿文等在四元數(shù)除環(huán)上研究矩陣的秩等式及其應(yīng)用[15]，等。

希望通過(guò)本文的例題和介紹培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生對(duì)秩等式、初等變換的興趣，并希望他們投入更多的時(shí)間和精力去深入思考問(wèn)題的本質(zhì)、分享數(shù)學(xué)帶來(lái)的快樂(lè)。同時(shí)也希望相關(guān)教材中有更多關(guān)于矩陣秩的性質(zhì)及其應(yīng)用的介紹。

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O151.21

A

1009-9530（2012）03-0096-03

2011-11-15

淮南師范學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目（2011LK80）；安徽省高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目（KJ2012B175）

王宏興（1981-），男，淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，博士，研究方向?yàn)閿?shù)值計(jì)算。