例析曲線運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問題

王飛

求解曲線類追及和相遇問題的關(guān)鍵在于分析題目；將物理模型還原出來，根據(jù)相應(yīng)的模型所對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律求解. 在曲線運(yùn)動(dòng)的追及和相遇問題中不僅要注意位移和時(shí)間關(guān)系，還特別要注意轉(zhuǎn)過的角度和周期性問題.

■ 1. 圓周運(yùn)動(dòng)物體和圓周運(yùn)動(dòng)物體的相遇

■ 例1機(jī)械表中的分針與秒針可視為勻速圓周轉(zhuǎn)動(dòng)，分針與秒針從重合至第二次重合，中間經(jīng)歷的時(shí)間為多少？

■ 解析再次重合的條件是：在相同時(shí)間里秒針比分針多走一圈. 秒針旋轉(zhuǎn)一周需60 s，周期T1=60 s，分針旋轉(zhuǎn)一周需3 600 s，周期T2=3 600 s，設(shè)經(jīng)過t第二次重合，則

■-■=1

解得：t=■ s.

此題也可以從重合時(shí)秒針比分針多走2π rad，即多轉(zhuǎn)過的角度入手解決.

■ 2. 平拋運(yùn)動(dòng)物體與平拋運(yùn)動(dòng)物體的相遇

■ 例2如圖1所示，水平地面上有P、Q兩點(diǎn)，A點(diǎn)和B點(diǎn)分別在P點(diǎn)和Q點(diǎn)的正上方，距離地面高度分別是h1和h2，某時(shí)刻在A點(diǎn)以速度v1水平拋出一小球，經(jīng)時(shí)間t后又從B點(diǎn)以速度v2水平拋出另一球，結(jié)果兩球同時(shí)落在P、Q連線上的O點(diǎn)，則有（）

A. ■ ∶ ■=v1h1 ∶ v2h2

B. ■ ∶ ■=v1h21 ∶ v2h22

C. ■ ∶ ■=v1■ ∶ v2■

D. h1-h2=gt2/2

■ 解析此題符合相遇的基本條件：同時(shí)到達(dá)同一點(diǎn). 所以應(yīng)抓住兩小球運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性求解. 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：

對(duì)小球1有：h1=■gt21，■=v1t1.

對(duì)小球2有：h2=■gt22，■=v2t2.

所以得：■ ∶ ■=v1■ ∶ v2■ .

答案C正確.

■ 3. 自由落體運(yùn)動(dòng)物體與圓周運(yùn)動(dòng)物體的相遇

■ 例3一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿可以繞通過其一端的水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿最初處于水平位置，桿上距O為a處放有小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），桿與其上小物體最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖2所示，若此桿突然以角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問當(dāng)ω取什么值時(shí)，小物體與桿可能相碰？

■ 解析 兩物體相遇的條件是：在相等的時(shí)間內(nèi)，小物體自由下落的位移和桿轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位置與B所在豎直線交點(diǎn)間的距離相等. 由圖3可以看出，兩者相碰必須是發(fā)生在桿轉(zhuǎn)到D點(diǎn)之前. 若ω越小，則相遇點(diǎn)在線段BD上某點(diǎn)，小物體追上桿. 考慮到桿運(yùn)動(dòng)的周期性，當(dāng)ω足夠大時(shí)，桿可以轉(zhuǎn)過一周后再次進(jìn)入該區(qū)域，桿反過來追上小物體，所以本題分兩種情況.

首先，設(shè)在第一周期內(nèi)，小物體恰好在D點(diǎn)與板相碰，其位移：BD=■=■gt2，桿轉(zhuǎn)過的角度θ=ω1t，

θ=arccos■.

聯(lián)立以上各式得：

ω1=■■arccos■.

若ω≤ω1，則物體追上桿于線段BD上某點(diǎn)相遇.

其次，ω足夠大時(shí)，桿轉(zhuǎn)過一周后追上物體，設(shè)相遇點(diǎn)為D，則有：

θ=ω2 t=2π+arccos■.

解得：ω2=■■2π+arccos■.

若ω≥ω2，則桿轉(zhuǎn)過一周后追上物體與之在線段BD上某點(diǎn)相遇.

綜合得兩者相遇的條件為：

ω≤ω1或ω≥ω2.