把握數(shù)學本質 促進數(shù)學理解

建構主義者認為學生學習數(shù)學的本質是：數(shù)學學習不應被看成對教師所授予的被動的接受，而是以學生已有的知識經(jīng)驗為基礎的建構過程；理解并不是指學生要弄清教師的本義，而是指學生能聯(lián)系已有的知識和經(jīng)驗對教師所傳授的內容達成數(shù)學理解。在教學實踐中我們發(fā)現(xiàn)，有部分學生對知識理解深刻，能舉一反三，融合貫通，具有創(chuàng)新能力；而部分學生對知識的理解只停留在表面上，形式地記住了某個概念的詞句，但并不知道概念的本質屬性，會套用公式、法則，但不知道公式的來龍去脈，往往出現(xiàn)“知其然，而不知其所以然”這樣的情況，主要是目前的數(shù)學教學中，很多老師只重視知識的結果和通過習題訓練形成的技能。數(shù)學教學只有重視引導學生經(jīng)歷數(shù)學理解的過程，構建促進學生理解的數(shù)學課堂，引導學生關注和把握數(shù)學的本質與聯(lián)系，促進學生在課堂中主動探索、主動建構新的認知結構，才能有效地提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設豐富的情境，設計促進思維的學習任務。

影響學生數(shù)學理解的重要因素是學生是否具有“理解”的心向，即是否能通過自己積極的思維活動，實現(xiàn)對所學數(shù)學知識本質和規(guī)律認識的心理愿望。具體地說，學生具有學習的好奇心，想投入到某項數(shù)學學習的活動中去，那是因為教師在教學中激發(fā)學生“理解”的意向，使學生積極主動調動自己認知結構中與所學知識相應或相關的認知圖式，全神貫注地投入到學習中去。在設計學習任務時，應力圖有多種多樣的呈現(xiàn)形式，以寬松的、開放的活動讓學生“大展拳腳”，容許、肯定、接納多樣性的答案而非唯一的理解，并且在此過程中，鼓勵學生大膽表達自己的想法，讓他們再相互激發(fā)，使他們的理解不斷得到提升，從而獲得自己獨有的，可能是超越教師預知的理解。

例如：在教學長方體和正方體的體積公式推導時，教師可以設計這樣的活動情境：用若干個1立方厘米的正方體擺出4個不同的長方體，并填寫下表：

學生對數(shù)學知識的理解往往起源于自我的活動經(jīng)驗，并且在學習過程中自主地建構對知識的理解。學生開始在理解長方體體積大小時，都是用1個體積單位去度量，目標單純地指向個清點小正方體的個數(shù)。這個學習活動，注意激發(fā)了學生的思維投入，而不僅僅是以掌握知識為目的，幫助學生生成正確的數(shù)學表象，初步感知了長方體的長、寬、高與長方體體積的一種對應關系，促進學生數(shù)學的理解。在此基礎上，教師繼續(xù)引領學生進行第二個數(shù)學活動：

用1立方厘米的正方體擺出下面的長方體，各需要多少個，先想一想，再擺一擺。

（1）長：4厘米， 寬：1厘米， 高：1厘米。

（2）長：4厘米， 寬：3厘米， 高：1厘米。

（3）長：4厘米， 寬：3厘米， 高：2厘米。

這三個長方體的體積分別各是多少立方厘米？

這一活動，學生之間就發(fā)生了明顯的差異，有的學生還是用前面的方法去擺一擺，再數(shù)一數(shù)；但是有部分對數(shù)敏感的同學就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了長、寬、高與長方體體積之間的關系，會有猜想，通過擺又進行了證實。從而得出：長方體的體積=長×寬×高。

緊密聯(lián)系，但深度不同的兩個數(shù)學活動讓學生對數(shù)學的理解可以經(jīng)歷一個由淺入深的過程，學生在感受、選擇、判斷等數(shù)學思維活動的過程中去建構自己對數(shù)學學習內容的理解，當然不同的學生可以形成不同層次和水平的理解。

二、經(jīng)歷“再創(chuàng)造”過程，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學思想方法的形成

學習不是純粹的模仿和純粹的記憶，要通過合理的數(shù)學活動，為學生提供探索知識的時間和機會，讓學生經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”過程。

案例：引導學生經(jīng)歷“平行四邊形面積”計算方法的“再創(chuàng)造”過程。

教師：我們來回憶一下長方形的面積（長是15厘米，寬是10厘米）是如何計算的，和什方形的什么條件有關。

學生回憶。

教師出示1個平行四邊形，設計問題：那么這個平行四邊形的面積和什么條件有關,該怎么計算呢？

生：和平行四邊形的邊有關.

教師：這只是我們的猜想，我們需要去驗證。老師這里為大家準備了6個形狀不同的平行四邊形，它們相鄰的一組邊分別長15厘米和10厘米，請你思考一下他們的面積分別是多少？

學生計算后，反饋交流。

生1：這些平行四邊形的面積都是150平方厘米，因為一條底長15厘米，一條底長10厘米，相乘的結果是相同的。

生2：我認為這些平行四邊形的面積肯定是不相等的，你看這個平行四邊形這么大（高相對大的一個），而這個平行四邊形這么?。ǜ呦鄬π〉囊粋€），這兩個平行四邊形的面積不可能相等的。

教師：這個同學提出了一個值得思考讓大家的問題，看來平行四邊形的面積不僅僅和這兩條底有關系，究竟和誰有關系呢？

生：平行四邊形的高。

教師：能不能把平行四邊形轉化成我們以前學過的圖形，來找到它面積的計算方法呢？

生操作活動后反饋：

生1：我沿著平行四邊形的高剪開，平移后把它拼成了一個長方形。

生2：這個長方形的長就是原來平行四邊形的一條底，長方形的寬就是原來平行四邊形的高。雖然平行四邊形變成了長方形，但是它的面積沒有發(fā)生變化，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

……

數(shù)學學習中，會背定義、會套公式計算并不等于理解了相應的數(shù)學概念、數(shù)學法則。平行四邊形的面積教學不僅要讓學生知道公式、會用面積公式進行計算，更重要的是要引導學生經(jīng)歷探索研究平行四邊形面積計算公式的過程，通過實踐操作、討論、交流等活動，自己探索發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的計算方法，并領悟到“底×高”的算理，促進學生對數(shù)學的理解。也就是說，不僅要會用“底×高”計算面積，而且要通過語言表述、實際操作等解釋“底×高”的意義，并能實際應用，這樣才是真正理解了數(shù)學知識。學生這樣的數(shù)學學習過程是一個建構自己對數(shù)學知識的理解過程——每一次學習活動都會對相應的學習對象形成一定的理解，并將新的信息納入自己的知識體系，形成新的知識網(wǎng)絡和圖式結構。這樣的教學方式不僅有助于學生理解數(shù)學，還有助于他們獲取比單純知識本身更重要的東西——數(shù)學方法、數(shù)學能力和對數(shù)學的積極情感。

三、提供交流平臺，讓學生用自己的方式表達對數(shù)學的理解

由于每個學生都在以自己的經(jīng)驗為背景建構對新知識的理解，不同的學生對同一知識有不同角度、不同層次的理解。“新基礎教育”創(chuàng)始人葉瀾教授曾在她的著作中將教學過程的任務定位為：使學生努力學會不斷地、從不同方面豐富自己的經(jīng)驗世界；努力學會實現(xiàn)個人的經(jīng)驗世界與社會共有的“精神文化世界”的溝通和富有創(chuàng)造性的轉換；逐漸完成個人精神世界對社會共有精神財富具有個性化和創(chuàng)造性地占有；充分發(fā)揮人類創(chuàng)造的文化、科學對學生“主動、健康發(fā)展”的教育價值。那么通過不同個體之間的合作與交流，可使每個學生分享他人的精神文化世界，可以互相取長補短，超越自己的認識，從而形成更加豐富的理解。教學時，教師要組織學生開展充分的數(shù)學交流活動，鼓勵和指導學生有效使用多種語言表達自己的理解。

案例：用自己的方式表達對“小數(shù)性質”的理解

師:老師手里有一個數(shù)，這是幾？

生：4。

師：你們說一下變，它就會變化了。

師：變成40，變成400。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：在整數(shù)末尾加一個0，這個數(shù)就擴大10倍；添兩個0，這個數(shù)就擴大100倍。

生2：在整數(shù)末尾去掉0，這個數(shù)就縮小10倍；去掉兩個0，這個數(shù)就縮小100倍。

師：現(xiàn)在老師手里還有一個數(shù)0.4，我讓它也發(fā)生變化。變成了0.40.

師：0.4是變大了還是變小了？

生1：變大了。

生2：變小了。

生3：沒變。

師：到底變沒變呢？請同學結合0.4和0.40的意義，自己先思考，然后在小組里進行討論，把你的想法告訴別人。

學生討論后交流。

生1：0.4和0.40一樣大的。譬如0.4元是4角，0.40元是40分，40分就是4角。所以0.4和0.40是相等的。

師：很好，你是給它加了一個相同單位后進行比較的。

生2：我也發(fā)現(xiàn)0.4和0.40是相等的，因為0.4表示4個十分之一，0.40表示40個百分之一，也是4個十分之一，所以是相等的。

師：很好，你利用小數(shù)的意義來比較這兩個數(shù)的。

生3：發(fā)現(xiàn)0.4和0.40的4都在十分位上，位置沒有變化，所以都表示4個十分之一。

師：不錯，你是利用數(shù)位來比較這兩個數(shù)的大小的。通過比較你們都發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：0.4和0.40是相等的。

師：也就是說在0.4這個小數(shù)末尾添上一個0，小數(shù)的大小沒有發(fā)生變化。如果在0.4這個小數(shù)末尾添上兩個0，小數(shù)的大小會發(fā)生變化嗎？

……

兒童對數(shù)學的理解常常是稚嫩的、不成熟的，但這種理解往往都是合乎常理的，具有個性的。我們要珍視這種最初的樸素的理解，創(chuàng)設機會鼓勵學生用自己的方式表達對數(shù)學的理解，并抓住契機進行適時引導，讓學生在交流的過程中，進一步理清自己的思考方法，分享同學們的觀點。這樣的教學，使每一個學生都能主動地參與數(shù)學活動，都有充分的時間和空間進行思考，都能對面臨的數(shù)學問題表達自己的理解或想法。這樣的課堂，學生學習數(shù)學的方式也不再是單一的，枯燥的，數(shù)學學習真正成為充滿生命力的過程。

（陸小青，吳江市鱸鄉(xiāng)實驗小學，215200）