Cauchy—Schwarz不等式的幾種證明

王楓

[摘 要]Cauchy—Schwarz不等式是一個形式簡單，使用方便的積分不等式，在證明某些含有乘積及平方項的積分不等式時，頗為有用。為加深對Cauchy—Schwarz不等式的理解，以便更好地應(yīng)用，介紹了幾種新的有代表性的證明方法。

[關(guān)鍵詞]Cauchy—Schwarz不等式 判別式

[中圖分類號] O122.3[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 2095—3437（2012）09—0064—02

Cauchy—Schwarz不等式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，是異于均值不等式的另一個重要不等式，無論是代數(shù)，幾何都有著廣泛的應(yīng)用。近年來在數(shù)學(xué)競賽及研究生入學(xué)考試中Cauchy—Schwarz不等式同樣作為測試的重點內(nèi)容。但大部分高等數(shù)學(xué)教材中僅僅給出輔助函數(shù)法的證明，在教學(xué)過程中部分學(xué)生對其理解明顯感到困難。本文給出了四種方法對Cauchy—Schwarz不等式加以證明，同時也為大學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供參考。

定理（Cauchy—Schwarz不等式）：

所以F′（t）≥0，t∈[a，b]，可知F（t）是單調(diào)不減函數(shù)，當(dāng)a

此法利用變上限積分作輔助函數(shù)，可把要證的積分不等式轉(zhuǎn)化為判別函數(shù)值的符號，這是一種證明積分不等式的重要方法。有興趣的讀者也可以利用輔助函數(shù)法，通過拉格朗日中值定理和積分中值定理判別函數(shù)值的大小，從而證明結(jié)論。

證法二：判別式法

當(dāng)f（x），g（x）中有一個恒為0時，不等式顯然成立

當(dāng)f（x），g（x）均不為0時，對？坌t∈R，有 即

上式是關(guān)于實數(shù)的二次三項式，其判別式應(yīng)滿足△=B2—4AC≤0，即

故

應(yīng)用判別式法的關(guān)鍵是通過參數(shù)的引進，使問題轉(zhuǎn)化為二次三項有無根的問題，判別式法是初等數(shù)學(xué)的重要方法，利用它來解決高等數(shù)學(xué)的問題值得注意。

證法三：利用重積分

由重積分的對稱輪換性有

通常重積分化為定積分求解，此法則將定積分的乘積化為重積分，再利用重積分的對稱輪換性通過均值不等式的放縮給出了證明，在諸多問題中定積分問題可以運用重積分方法來得到解決，而且往往起到事半功倍的效果。

證法四：利用定積分性質(zhì)

兩端平方得

證法四是一種比較巧妙的方法，通過將結(jié)論兩邊同時開方后的形式，聯(lián)系定積分的絕對值不等式的性質(zhì)得到所要構(gòu)造的形式，這是一種通過結(jié)論入手的一種間接的證明方法。

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[責(zé)任編輯：林志恒]