雙特征值約束下的兩類逆二次特征值問題

嚴(yán)深海

（贛南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西贛州341000）

雙特征值約束下的兩類逆二次特征值問題

嚴(yán)深海

（贛南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西贛州341000）

論文研究了雙特征值約束下對稱矩陣三元組（M、C、K）的兩類逆二次特征值問題，即對于預(yù)先給定部分信息的特殊結(jié)構(gòu)對稱矩陣M、C、K以及兩個(gè)實(shí)特征根λ和μ，通過求解立方程組得到M或K中未知元素的值.研究給出了解的存在性和解的表達(dá)式，數(shù)值算例說明了算法的有效性.

二次特征值問題；逆二次特征值問題；二次矩陣方程

0 引言

二次特征問題，是指已知矩陣三元組（M、C、K），求數(shù)λ和向量x滿足Q（λ）x=0，這里Q（λ）=λ2M+λC+K，此時(shí)稱滿足detQ（λ）=0的λ為二次特征值，滿足Q（λ）x=0的x稱為對應(yīng)于λ的特征向量，稱（λ，x）為特征對.這類問題來源于帶阻尼的彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)[1-5]（此時(shí),M對應(yīng)質(zhì)量矩陣，C對應(yīng)阻尼矩陣，K對應(yīng)剛度矩陣）和二階電路系統(tǒng)[2]（此時(shí),M對應(yīng)電感矩陣，C對應(yīng)電阻矩陣，K對應(yīng)電容矩陣）.逆二次特征問題，是指根據(jù)矩陣三元組（M、C、K）的部分信息，尋找M、C、K的全部信息，使得具有事先給定的特征值，或具有事先給定的特征對，前者被稱為逆二次特征值問題[6]，后者被稱為逆二次特征對問題.文獻(xiàn)[7]討論了由不足2n個(gè)特征對信息構(gòu)造M、C、K矩陣的情形，文獻(xiàn)[8]討論了由2n個(gè)特征對信息構(gòu)造含參數(shù)的M、C、K矩陣的情形，文獻(xiàn)[9]討論了二次特征系統(tǒng)的修正問題，文獻(xiàn)[10]給出了求解二次特征值問題多個(gè)特征對的一種并行方法.文獻(xiàn)[11-13]研究了諧振電路的建模、仿真及逆二次特征值問題在四網(wǎng)孔電路（見圖1）設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.

文中研究以四網(wǎng)孔電路設(shè)計(jì)為背景的兩類逆二次特征值問題：

圖1 四網(wǎng)孔電路示例

問題QIEVP-double-Ⅰ：對于預(yù)先給定的實(shí)數(shù)λ和μ，λ≠μ，若已知矩陣C∈R4×4，K∈R4×4和M∈R4×4中的l3，求實(shí)數(shù)l2〉0和l4〉0，構(gòu)造矩陣M，使得:detQ（λ）=0，detQ（μ）=0

問題QIEVP-double-Ⅱ：對于預(yù)先給定的實(shí)數(shù)λ和μ，λ≠μ，若已知矩陣M∈R4×4，C∈R4×4和K∈R4×4中的d3，求實(shí)數(shù)d2〉0，d4〉0，構(gòu)造矩陣K，使得:detQ（λ）=0，detQ（μ）=0

這里，R表示實(shí)數(shù)域，以四網(wǎng)孔電路設(shè)計(jì)為背景的特殊結(jié)構(gòu)對稱矩陣三元組（M、C、K）為：

1 問題QIEVP－doubel-I的解

為了求解問題QIEVP-double-Ⅰ，可整理成:

進(jìn)一步展開，容易整理得到φ（λ）=λ2M+λC+K的表達(dá)式：

定理1對稱矩陣三元組（M、C、K）的特征多項(xiàng)式為:

這里：

那么問題QIEVP-double-Ⅰ的求解，等價(jià)于已知r1，r2，r3，r4，d2，d3，d4和l3,根據(jù)聯(lián)立方程:

求解得到l2，l4.

根據(jù)定理1，整理式（2）得以下矩陣形式

考慮到式（3）的特殊結(jié)構(gòu)，容易獲得問題QIEVP-double-Ⅰ的解：

定理2當(dāng)a3（λ）=0，a3（μ）=0時(shí),式（3）有唯一實(shí)數(shù)解的條件為:

且解的表達(dá)式為:

進(jìn)而，若有l(wèi)2〉0且l4〉0，則問題QIEVP-double-Ⅰ有唯一解.

定理3當(dāng)a3（λ）≠0，a3（μ）≠0時(shí),式（3）有解的條件為:

①a≠0；②b2-4ac≥0；③?！搔?Ф;且解的表達(dá)式為:

進(jìn)而，若有l(wèi)2〉0且l4〉0，則問題QIEVP-double-Ⅰ有解，

證明：式(2)等價(jià)于同時(shí)成立:

當(dāng)a3（λ）≠0，a3（μ）≠0，且a2（λ）+a3（λ）l2≠0，a2（μ）+a3（μ）l2≠0時(shí)，

因l4是同一的,由式(4)、式(5)知

整理上式有求解l2的二次方程組al22+bl2+c=0.當(dāng)b2-4ac≥0,可解得l2,進(jìn)而由式（4）得l4.定理獲證.

定理4當(dāng)a3（λ）=0,a3（μ）≠0（類似考慮a3（λ）≠0，a3（μ）=0情形）時(shí)，式（3）有解的條件為:①a≠0；②a2（λ）≠0；③b2-4ac≥0；④Γ∩Ω=Ф；且解的表達(dá)式為:

進(jìn)而，若有l(wèi)2〉0且l4〉0，則問題QIEVP-double-Ⅰ有解，

證明：當(dāng)a3（λ）=0，a3（μ）≠0式(2)等價(jià)于同時(shí)成立

當(dāng)a2（λ）≠0，a3（μ）≠0，且a2（μ）+a3（μ）l2≠0時(shí)，

因l4是同一的，由式(6)、式(7)知

整理上式有求解l2的二次方程組al22+bl2+c=0.當(dāng)b2-4ac≥0,可解得l2，進(jìn)而由式(6)得l4.定理獲證.

2 問題QIEVP－double-Ⅱ的解

為了求解問題QIEVP-double-Ⅱ，整理特征多項(xiàng)式為:

定理5對稱矩陣三元組（M、C、K）的特征多項(xiàng)式為:

這里，

那么問題QIEVP-double-Ⅱ的求解，等價(jià)于已知r1，r2，r3，r4，d3，l2，l3，l4根據(jù)聯(lián)立方程

求解得到d2，d4.

根據(jù)定理5，整理式（9）得以下矩陣形式

考慮到式（10）的特殊結(jié)構(gòu)，類似上一節(jié)的討論，容易獲得問題QIEVP-double-Ⅱ的解：

定理6當(dāng)b3（λ）=0，b3（μ）=0時(shí),式（10）有唯一解的條件為:

b1（λ）b1（μ）-b1（μ）b2（λ）≠0，

且解的表達(dá)式為:

進(jìn)而，若有d2〉0且d4〉0，則問題QIEVP-double-Ⅱ有唯一解.

定理7當(dāng)b3（λ）≠0，b3（μ）≠0時(shí),式（10）有解的條件為:①a≠0；②b2-4ac≥0；③?！搔?Ф；且解的表達(dá)式為:

進(jìn)而，若有d2〉0且d4〉0，則問題QIEVP-double-Ⅱ有解.

這里,a=-b1（λ）b3（μ）+b1（μ）b3（λ）；

c=b0（μ）b2（λ）-b0（λ）b2（μ）；

定理8當(dāng)b3（λ）=0,b3（μ）≠0（類似考慮b3（λ）≠0，b3（μ）=0情形）時(shí)，式（10）有解的條件為:①a≠0；②b2（λ）≠0；③b2-4ac≥0；④Γ∩Ω=Ф；且解的表達(dá)式為:

進(jìn)而，若有d2〉0且d4〉0，則問題QIEVP-double-Ⅱ有解.這里，

3 數(shù)值算例

利用Mathlab7.6軟件，求解問題QIEVP-double-I/Ⅱ的算例如下：

例1對于預(yù)先給定的矩陣

求矩陣三元組（M、C、K）的二次特征值.

例2對于預(yù)先給定的數(shù)λ=-1.1065830，μ=-0.1159460，l3=1.5，和矩陣

求正數(shù)l2和l4，構(gòu)造矩陣M如上，使得detQ（λ）≤ε，detQ（μ）≤ε，ε=10-6.

解：該問題屬Q(mào)IEVP-double-Ⅰ，通過計(jì)算ai（λ），ai（μ），i=0，1，2，3，得到方程：

根據(jù)定理3求得實(shí)根：l2=1.4999998，l4=1.4999963；或l2=2.8457780，l4=-0.2521963.容易驗(yàn)證：

情形1（l2=1.4999998，l4=1.4999963時(shí)）:

情形2（l2=2.8457780，l4=-0.2521963時(shí)）：

綜上所知，所求l2=1.4999998，l4=1.4999963滿足l2、l4是正數(shù)的要求.

例3對于預(yù)先給定的數(shù)λ=-1.1065830，μ=-0.1159460，d3=0.5和矩陣

求正數(shù)d2，d4，構(gòu)造矩陣K如上，使得detQ（λ）≤ε，detQ（μ）≤ε，ε=10-6.

解：該問題屬Q(mào)IEVP-double-Ⅱ，通過計(jì)算bi（λ），bi（μ），i=0，1，2，3，得到方程：

根據(jù)定理7求得實(shí)根：d2=0.4999938，d4=0.5000017；或d2=0.1380092，d4=-14.1340446.容易驗(yàn)證：

情形1（d2=0.4999938，d4=0.5000017時(shí)）：

情形2（d2=0.1380092，d4=-14.1340446時(shí)）：

綜上所知，所求d2=0.4999938，d4=0.5000017滿足d2、d4是正數(shù)的要求.

4 結(jié)論

論文研究指出以四網(wǎng)孔電路設(shè)計(jì)為背景的雙特征值約束下對稱矩陣三元組（M、C、K）的兩類逆二次特征值問題QIEVP-double-I和QIEVP-double-Ⅱ,是一類以M或K中未知量為變量的二元二次方程組，通過分析二元二次方程組特殊結(jié)構(gòu)，研究了特定的求解方式，給出了解存在性的判定，提出了相應(yīng)的數(shù)值算法，算法數(shù)值結(jié)果滿足系統(tǒng)對參數(shù)的要求，并有較高的精度.本研究成果能為四網(wǎng)孔電路設(shè)計(jì)提供理論工具和參考算法.

[1]PLancaster，UPrells.Inverseproblemsfordampedvibratingsystems[J].Journal of Sound and Vibration,2005,283(3-5):891-914.

[2]Bo Dong,Matthew M Lin,Moody T Chu.Parameter reconstruction of vibration systems from partial eigeninformation[J].Journal of Sound and Vibration,2009,327(3-5):391-401.

[3]Francoise Tisseur.Backward error and condition of polynomial eigenvalue problems[J].Linear Algebra and its Applications,2000,309(1-3):339-361

[4]王正盛.阻尼彈簧一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中的逆二次特征值問題[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，27(3):217-224.

[5]吳春紅.幾類矩陣的逆特征值問題[D].廈門：廈門大學(xué)，2009.

[6]鐘關(guān)村.二階RLC電路設(shè)計(jì)中的結(jié)構(gòu)化二次特征值反問題[D].大連：大連理工大學(xué)，2009.

[7]Cai Y F,Kuo Y C,Lin W W,et al.Solutions to a quadratic inverse eigenvalue problem[J].Linear Algebra and its Applications,2009,430(5-6):1590-1606.

[8]Biswa Nath Datta,Vadim Sokolov.A solution of the affine quadratic inverse eigenvalue problem[J].Linear Algebra and its Applications,2011,434(7):1745-1760.

[9]Yueh-Cheng Kuoa,Biswa N Datta.Quadratic model updating with no spill-over and incomplete measured data:Existence and computation of solution[J].Linear Algebra and its Applications,2012,436(7):2480-2493.

[10]王順緒，戴華.二次特征值問題的并行Jacobi-Davidson方法及其應(yīng)用[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用.2008，29(4):313-320.

[11]姚齊國.基于MATLAB的諧振電路的建模與仿真[J].江西理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，28(1):45-47.

[12]Liu Jian-sheng.The application of matrix theory in second order electricalcircuitsdesigning[C].Proceedingsoftheeighthinternational conference on matrix theory and its application,2008.

[13]袁新娣，黃賢通.基于狀態(tài)空間法的復(fù)雜正弦穩(wěn)態(tài)電路相量計(jì)算[J].制造業(yè)自動(dòng)化，2010，32(6):91-94.

Two kinds of the quadratic inverse eigenvalue problem constrained by double eigenvalues

YAN Shen-hai

(College of Mathematics and Computer Science,Gannan Normal University,Ganzhou 341000,China)

The paper studies two kinds of the quadratic inverse eigenvalue problem constrained by double eigenvalues,namely,solving the simultaneous equationgetting the values of the unknown elements in the specially symmetry matrix M or K.The existence and the detailed expressions of the solutions are presented.The numerical experiments demonstrate that the algorithms are effective.

quadratic eigenvalue problem;quadratic inverse eigenvalue problem;quadratic matrix equation

O302

A

2012-07-10

江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ10585)

嚴(yán)深海（1972-），男，講師，主要從事算法設(shè)計(jì)與應(yīng)用、圖像處理等方面的研究，E-mail:gnsyysh@126.com.

2095-3046（2012）05-0088-05