網(wǎng)孔電流法及其應(yīng)用

袁 平 李忠相

(重慶市第一中學(xué)校 重慶 400030)

競(jìng)賽與物理專題研修

網(wǎng)孔電流法及其應(yīng)用

袁 平 李忠相

(重慶市第一中學(xué)校 重慶 400030)

以網(wǎng)孔電流替代支路電流為求解對(duì)象的網(wǎng)孔電流法在求解復(fù)雜電路上具有明顯優(yōu)勢(shì)，基于此介紹了網(wǎng)孔電流法的基本原理和在物理競(jìng)賽中的應(yīng)用，并給出示例．

網(wǎng)孔電流法 基爾霍夫定律 復(fù)雜電路 等效電阻

1 用基爾霍夫定律解復(fù)雜電路

凡不能用電阻串并聯(lián)等效變換化簡(jiǎn)的電路，一般稱為復(fù)雜電路．在計(jì)算復(fù)雜電路的各種方法中，支路電流法是最基本的．它是應(yīng)用基爾霍夫電流定律和電壓定律分別對(duì)結(jié)點(diǎn)和回路列出所需要的方程組，而后解出各未知支路電流，即將各支路電流作為求解對(duì)象．

【例1】求解圖1所示電路中各支路電流．其中電源電動(dòng)勢(shì)ε=1.4 V，內(nèi)阻不計(jì)，R2=R3=R5=1 Ω．

圖1 例1題圖

解析：先在電路圖上選定好未知支路電流的參考方向(圖2)．電路中共4個(gè)結(jié)點(diǎn)，3個(gè)單孔回路，可列出4 - 1 = 3個(gè)結(jié)點(diǎn)電流方程組和3個(gè)回路電壓方程組，即

(1)

代入數(shù)據(jù)，即可解得

I0=1.0 AI1=0.4 A

I2=0.6 AI3=0.6 A

I4=0.4 AI5=-0.2 A

圖2 選定參考方向

點(diǎn)評(píng)：利用基爾霍夫定律解題，雖然邏輯流程簡(jiǎn)潔，但是在實(shí)際手工運(yùn)算中有兩點(diǎn)極為不便．一是方程個(gè)數(shù)多，獨(dú)立方程數(shù)目等于電路支路數(shù)，消元化簡(jiǎn)步驟多，計(jì)算極易出錯(cuò)；二是在列每個(gè)方程時(shí)，各項(xiàng)都要考慮正負(fù)號(hào)，費(fèi)時(shí)且易出錯(cuò)．任何一個(gè)環(huán)節(jié)出錯(cuò)，都會(huì)導(dǎo)致滿盤皆輸，只得從頭再來(lái)．

2 用網(wǎng)孔電流法解復(fù)雜電路

如果根據(jù)基爾霍夫定律，將上述求解過(guò)程稍做調(diào)整，用網(wǎng)孔電流替代支路電流作為求解對(duì)象，上述不便就將逐一化解．

所謂網(wǎng)孔電流，就是假想每個(gè)網(wǎng)孔對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的電流，同時(shí)屬于兩個(gè)網(wǎng)孔的支路，其電流等于兩個(gè)網(wǎng)孔各自電流之和．例1所示電路有3個(gè)網(wǎng)孔，設(shè)如圖3所示的3個(gè)網(wǎng)孔電流(為了區(qū)分實(shí)際電流，網(wǎng)孔電流可用i表示)．如果解出這3個(gè)網(wǎng)孔電流，各支路電流就都可以簡(jiǎn)單寫出了．例如流過(guò)R1的電流I1=i1，流過(guò)R5的電流I5=i1-i2，其他支路情形類似．

圖3 例1網(wǎng)孔法分析

顯然，這樣假設(shè)的網(wǎng)孔電流一定滿足基爾霍夫電流定律，只需要根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出方程即可求解．每個(gè)網(wǎng)格設(shè)一個(gè)網(wǎng)孔電流，剛好每個(gè)網(wǎng)格可以列一個(gè)回路電壓方程．對(duì)于第i個(gè)網(wǎng)孔回路，電壓方程的通式為[1]

ii∑Ri-∑ipRip=∑εi

(2)

其中∑Ri為第i個(gè)網(wǎng)孔回路的總阻值，此項(xiàng)恒為正；-∑ipRip中ip是與第i個(gè)網(wǎng)孔相鄰的第p個(gè)網(wǎng)孔對(duì)應(yīng)的網(wǎng)孔電流，Rip是第i個(gè)網(wǎng)孔和第p個(gè)網(wǎng)孔共用的電阻，如果所有網(wǎng)孔電流均同為順時(shí)針或同為逆時(shí)針，則此項(xiàng)恒為負(fù)；∑εi是第i個(gè)網(wǎng)孔回路的總電動(dòng)勢(shì)，與該網(wǎng)孔電流同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)．

對(duì)于例1所示電路，網(wǎng)孔電流法具體表達(dá)式為

(3)

代入數(shù)據(jù)，即可解得i1=0.4 A，i2=0.6 A，i3=1.0 A，再簡(jiǎn)單換算就可以得到各支路電流．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)實(shí)際運(yùn)算會(huì)發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)孔電流法完全解決了基爾霍夫的兩點(diǎn)不便．一是方程數(shù)目明顯減少，由等于電路支路數(shù)目變?yōu)榈扔诰W(wǎng)孔數(shù)目，大大簡(jiǎn)化了消元過(guò)程．二是每個(gè)方程具有固定的結(jié)構(gòu)，除了電動(dòng)勢(shì)一項(xiàng)外其他各項(xiàng)均不需要判斷正負(fù)號(hào)，大大降低了符號(hào)錯(cuò)誤的可能性．電路越復(fù)雜，網(wǎng)孔電流法的優(yōu)勢(shì)就越明顯．

3 用網(wǎng)孔電流法解電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻

對(duì)于沒(méi)有電源的純電阻網(wǎng)絡(luò)，也可以構(gòu)造假想網(wǎng)孔電流，從而求解其等效電阻．

【例2】如圖4所示“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)，每小段電阻均為R，求A和B兩點(diǎn)間的等效電阻．

圖4 例2題圖

解析：假設(shè)有電流I從A點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，從B點(diǎn)流出．電流在網(wǎng)絡(luò)中的具體分布，采用網(wǎng)孔電流設(shè)出．提供外電流I的電路也設(shè)為一個(gè)網(wǎng)孔，但無(wú)需列出相應(yīng)的方程，直接將I視為已知．如圖5所示．對(duì)原網(wǎng)絡(luò)的4個(gè)網(wǎng)孔列出電壓方程,有

(4)

圖5 例2網(wǎng)孔法分析

(5)

點(diǎn)評(píng)：求解電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的方法很多，比如等勢(shì)點(diǎn)的斷開(kāi)與連接、星三變換、疊加法、電流分布法等．和這些方法相比較，網(wǎng)孔電流法對(duì)思維能力和運(yùn)算能力要求均不太高，具有比較明顯的優(yōu)勢(shì)．一旦掌握，一般會(huì)成為求解不對(duì)稱電阻網(wǎng)絡(luò)的首選方法．

4 用網(wǎng)孔電流法解多個(gè)重復(fù)電阻網(wǎng)絡(luò)的電阻

【例3】如圖6所示的電阻絲網(wǎng)絡(luò)包含n≥3個(gè)正方形，網(wǎng)絡(luò)中每一小段的電阻均為R，試求A和B之間的等效電阻RAB．

圖6 例3題圖

解析：此網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)單元，但各單元又有一定的相似性，無(wú)論用什么方法都不會(huì)太簡(jiǎn)單，我們嘗試在網(wǎng)孔電流法的基礎(chǔ)上尋求解決之道．假設(shè)有電流I從A點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，從B點(diǎn)流出．電流在網(wǎng)絡(luò)中的具體分布，采用網(wǎng)孔電流設(shè)出，如圖7所示．

圖7 例3網(wǎng)孔法分析

如果解出各網(wǎng)孔電流，由ACB路徑，AB間的電壓可以寫為

UAB=2i1R+i2R+…in-1R+inR=

(i1+i2+…+in-1+in)R+i1R

(6)

由ADB路徑，AB間的電壓可以寫為

UAB=(n+1)IR-

(i1R+i2R+…in-1R+2inR)=

(n+1)IR-(i1+i2+…+in-1+in)R-inR

(7)

將(6)、(7)兩式相加即可消去各中間網(wǎng)孔的電流，有

(8)

由于對(duì)稱性，AC段電流和DB段電流相等，即

i1=I-in

(9)

由(8)、(9)兩式可得

(10)

結(jié)合UAB=IRAB，可得

(11)

可見(jiàn)，只需要求出i1與I之比，即可得到AB間的等效電阻．

對(duì)各個(gè)網(wǎng)孔，列出回路電壓方程，有

將各個(gè)網(wǎng)孔對(duì)應(yīng)列出的回路電壓方程化簡(jiǎn)為

(12)

可見(jiàn)，從第2個(gè)網(wǎng)孔到第n- 1個(gè)網(wǎng)孔，都具有相同結(jié)構(gòu)的表達(dá)式

4ik-ik-1-ik+1-I=0

(13)

設(shè)上式可寫為

ik+1-αik=β(ik-αik-1)-I

(14)

由式(13)、(14)對(duì)比可知

α+β=4αβ=1

(15)

解得

(16)

由式(14)累加，不難得到

in-1-αin-2=

βn-3(i2-αi1)-(1+β+…+βn-4)I

(17)

由對(duì)稱性，有

i1=I-ini2=I-in-1i3=I-in-2

(18)

可解得

(19)

(20)

長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐表明，網(wǎng)孔電流法大大降低了解復(fù)雜電路計(jì)算出錯(cuò)的概率，在物理競(jìng)賽之類的考試中有非常重要的應(yīng)用．從網(wǎng)孔電流法的原理不難理解，它不但適用于恒定電流電路，也適用于正弦交變電流電路[3]．但電路中如果有不滿足疊加原理的非線性元件，疊加原理失效，此方法也就不能用了．

1 王鳳池.網(wǎng)孔電流法.冀東學(xué)刊,1994(6):7～9

2 舒幼生,胡望雨,陳秉乾.物理學(xué)難題集萃(增訂本).北京:高等教育出版社,1999.688～691

3 秦曾煌.電工學(xué)(第六版).北京:高等教育出版社,2004.129～130

2017-04-09)