自主招生試題中常用的四種恒等變形
——兼論恒等變形在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)地位

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(順風(fēng)高級(jí)中學(xué) 浙江東陽 322100) (東陽中學(xué) 浙江東陽 322100)

自主招生試題中常用的四種恒等變形
——兼論恒等變形在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)地位

●蔣元虎●吳國建

(順風(fēng)高級(jí)中學(xué) 浙江東陽 322100) (東陽中學(xué) 浙江東陽 322100)

數(shù)學(xué)是運(yùn)算的科學(xué)，而運(yùn)算的核心是恒等變形．從某種意義上講，數(shù)學(xué)問題的解決其本質(zhì)就是通過恒等變形進(jìn)行化簡直至導(dǎo)出結(jié)論的過程．與高考相比，自主招生考試在數(shù)學(xué)思維與能力上提出了更高的要求.這種要求體現(xiàn)在運(yùn)算上，首先知識(shí)面要求更寬，除常規(guī)的因式分解、配方換元、待定系數(shù)等，還要求考生掌握對(duì)稱變換、裂項(xiàng)相消等變形方式；其次恒等變形的難度進(jìn)一步加大，方法與技巧的要求更高，譬如三次方程的韋達(dá)定理，結(jié)合表達(dá)式的對(duì)稱性進(jìn)行均值換元、通過裂項(xiàng)相消進(jìn)行恒等變形與不等放縮等．

本文擬結(jié)合近幾年各校自主招生試題，闡述較高要求的4種恒等變形方法與技巧，進(jìn)而體現(xiàn)恒等變形在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)性地位．

1 基于函數(shù)方程的恒等變形

自主招生中的函數(shù)方程問題，主要涉及一元二次、一元三次方程.這類問題的求解離不開恒等變形，主要包括因式分解、一元二次方程的判別式與韋達(dá)定理、求根公式以及一些常見的恒等變換技巧．

例1解方程組

(2007年北京大學(xué)自主招生考試試題)

解由原方程組得

得

(x-1)(x-4)=-2,

評(píng)注本題中的常數(shù)可以自由湊配，但要確保每個(gè)方程含未知元部分恰好能成為2個(gè)一次因式的積.因?yàn)檫@些因式間有聯(lián)系,所以再通過這3個(gè)方程間消元變換,即可獲解．

例2已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=x沒有實(shí)數(shù)根，試判斷f[f(x)]=x是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論．

(2008年上海交通大學(xué)自主招生考試試題)

解沒有．因?yàn)閒(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實(shí)數(shù)根，所以

Δ=(b-1)2-4aclt;0.

考察f[f(x)]-x=0，得

a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c-x=0，

從而

a(ax2+bx+c)2-ax2+ax2+b(ax2+bx+c)+c-x=0,

即

a(ax2+bx+c-x)(ax2+bx+c+x)+(b+1)ax2+(b2-1)x+c(b+1)=0.

提取公因式a(ax2+bx+c-x),得

[ax2+(b-1)x+c][a2x2+a(b+1)x+ac+b+1]=0,

于是

ax2+(b-1)x+c=0或a2x2+a(b+1)x+ax+b+1=0．

因?yàn)?/p>

Δ1=(b-1)2-4aclt;0;

Δ2=a2(b+1)2-4a2(ac+b+1)=a2[(b-1)2-4ac-4]lt;-4a2lt;0,

所以2個(gè)二次方程均不存在實(shí)數(shù)根，故方程f[f(x)]=x也不存在實(shí)數(shù)根．

評(píng)注本題著重于考查學(xué)生通過拆、添項(xiàng)分解多項(xiàng)式因式的能力．由于f(x)=x的根一定是f[f(x)]=x的根，再考慮到本題的結(jié)論，可以得出：若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則f(x)=x有根的充要條件是f[f(x)]=x有實(shí)數(shù)根.當(dāng)然，f[f(x)]=x的實(shí)數(shù)根未必都是f(x)=x的根，因此{(lán)x|f(x)=x}?{x|f[f(x)]=x}．

2 基于待定系數(shù)的恒等變形

自主招生試題往往運(yùn)算要求較高．待定系數(shù)法作為一種常用的恒等變形方法，常適用于較困難的多項(xiàng)式的因式分解，表面上看似增加了多個(gè)未知數(shù)，但運(yùn)算往往比較巧妙，多給人以“柳暗花明又一村”之感．

(2010年清華大學(xué)等五校聯(lián)考試題)

解設(shè)h(x)=px2+qx+r，p,q,r均為有理數(shù),則由h(α)=θ得

整理得

pθ4+2pθ3+(2q-3p)θ2+(2q-4p-4)θ+(4p-4q+4r)=0.

左邊除以θ3-3θ+10,得

因?yàn)檎禂?shù)方程x3-3x+10=0沒有有理根，又p,q,r∈Q，所以2qθ2+(2q-8p-4)θ-(16p+4q-4r)不是θ3-3θ+10的因式．而θ同時(shí)是pθ4+2pθ3+(2q-3p)θ2+(2q-4p-4)θ+(4p-4q+4r)=0和θ3-3θ+10=0的根，所以2qθ2+(2q-8p-4)θ-(16p+4q-4r)恒等于0．故

2q=2q-8p-4=16p+4q-4r=0，

解得

即

評(píng)注原題為“求h(0)”，且為選擇題．這里，可以直接運(yùn)用整系數(shù)方程的有理根定理(所有有理根，分母必為首項(xiàng)系數(shù)的約數(shù)，分子必為常數(shù)項(xiàng)的約數(shù))，證明方程x3-3x+10=0沒有有理根.

3 基于裂項(xiàng)相消的恒等變形

基于裂項(xiàng)相消(或稱為拆添項(xiàng))的恒等變形(或變形后放縮、或放縮后變形)也是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是高中數(shù)學(xué)的基本功，特別是在數(shù)列的通項(xiàng)與求和中應(yīng)用十分廣泛.高校自主招生也十分關(guān)注這一基本的恒等變形方式，在自主招生試題中出現(xiàn)了許多運(yùn)用裂項(xiàng)相消變形的問題．運(yùn)用裂項(xiàng)相消實(shí)現(xiàn)恒等變形的關(guān)鍵在于能否將數(shù)列通項(xiàng)an等價(jià)變換為A·[f(n)-f(n+1)]或A·[f(n)-f(n+k)]的形式，這種等價(jià)變換有時(shí)也可運(yùn)用待定系數(shù)法來實(shí)現(xiàn)．

(2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試試題)

證明注意到當(dāng)j≥2時(shí),

于是

從而

則

評(píng)注此題巧妙運(yùn)用放縮法達(dá)到裂項(xiàng)相消的效果，從而將含n項(xiàng)的式子的運(yùn)算變成有限項(xiàng)的運(yùn)算.整個(gè)運(yùn)算過程充分體現(xiàn)了“恒等變形、不等放縮”．

4 基于對(duì)稱換元的恒等變形

對(duì)稱性是圖像或表達(dá)式作一定的變換后而保持不變的一種性質(zhì)．在解題中,若能發(fā)現(xiàn)并充分運(yùn)用這種性質(zhì)，則能提供解題思路并簡化整個(gè)運(yùn)算．特別是在恒等變形過程中，可以運(yùn)用對(duì)稱性引入?yún)⒆兞?，簡化表達(dá)式．

(2009年清華大學(xué)自主招生考試試題)

評(píng)注這種對(duì)稱變換又稱為均值代換，可以達(dá)到減少變量的目的．

例6已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，若min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3}，求證：max{a1,a2,a3}≤max{b1,b2,b3}.

(2008年北京大學(xué)自主招生考試試題)

解注意到ai,bj在問題中的對(duì)稱性，不妨令a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3，于是min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3}轉(zhuǎn)化為a3≤b3，證明目標(biāo)轉(zhuǎn)化為a1≤b1．下面用分析法證明：

令a1+a2+a3=b1+b2+b3=c,a1=m+δ1,a2=m-δ1,b1=n+δ2,b2=n-δ2.于是a3=c-2m,b3=c-2n．若m=n，則命題顯然成立.下面只考慮mgt;n的情況，只要證明

將a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1變?yōu)?/p>

a1a2+(a1+a2)a3=b1b2+(b1+b2)b3，

再把a(bǔ)i,bj(i,j=1,2,3)的表達(dá)式化簡得

評(píng)注求解本題時(shí)充分利用了問題中字母的對(duì)稱性，先對(duì)問題附加假設(shè)條件，以添加結(jié)論的形式得以化簡(完成了將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)配套化的過程)，接著再進(jìn)一步利用增量代換的思想，用分析法證得結(jié)論，每一步的證明過程也是一個(gè)恒等變形的過程．