回歸基礎(chǔ) 淡中見雋
——評析2011年新課程高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題

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(學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

回歸基礎(chǔ)淡中見雋
——評析2011年新課程高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題

●鄭日鋒

(學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

1 試題概述

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，其思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終，是高中數(shù)學(xué)的主干知識.導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材之后，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)問題(如函數(shù)問題、不等式問題、解析幾何問題等)的研究提供了新視角、新方法、新途徑，拓寬了高考的命題空間.

2011年全國各地新課程高考數(shù)學(xué)試卷共13套25份，涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的題目中，理科客觀題有29道，解答題有12道；文科客觀題有35道，解答題有14道，分值占總分的20%左右.試題既考查了函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)問題、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，又考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與其他內(nèi)容的綜合，以及化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想及推理論證能力.

在2011年數(shù)學(xué)高考試卷中，涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的解答題除江蘇卷(文、理合卷)外，難度差異明顯.文科試題大多是由理科試題通過數(shù)值化、特殊化等問題改編而成，從而降低了對文科學(xué)生的考查要求.試卷正視文、理科學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)要求、學(xué)習(xí)能力等方面的差異，準(zhǔn)確定位各自的考查內(nèi)容和目標(biāo).

2 命題特點(diǎn)和知識類型

2．1 命題特點(diǎn)

試卷充分考慮了解題方法的大眾化與常規(guī)化，不在冷僻的技巧上設(shè)置問題，努力貼近學(xué)生在通性通法上下功夫，試題中規(guī)中矩、不偏不怪.絕大多數(shù)題目材料背景熟悉、設(shè)問方式常規(guī)、解題方法基本、和平時教學(xué)匹配度高.在考基礎(chǔ)、考通性、考通法上體現(xiàn)得濃墨重彩、淋漓盡致.

在選擇題、填空題中考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、函數(shù)的圖像、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用等.在解答題中,主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，如利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值、最值，及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等.

各份試題貼近基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法，不偏不怪，客觀題除個別省份較難外，其余省份都屬容易題、中檔題，解答題突出綜合性，呈現(xiàn)出“入手容易、階梯遞進(jìn)、拾級而上”的特點(diǎn)，體現(xiàn)了“回歸基礎(chǔ)、淡中見雋”的特色.

2．2 考查的知識類型

2．2．1 函數(shù)的定義域、值域

( )

A．(-∞,-1) B．(1，+∞)

C．(-1,1)∪(1,+∞) D．(-∞,+∞)

(2011年廣東省數(shù)學(xué)高考文科試題)

xgt;-1且x≠1.

故選C.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為

( )

C．[1,3] D．(1，3)

(2011年湖南省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解由g(b)屬于f(x)的值域，得

-b2+4b-3gt;-1，

解得

故選B.

2．2．2 函數(shù)的零點(diǎn)

( )

(2011年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

2．2．3 函數(shù)的圖像

( )

A. B.

C. D.

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考文、理科試題)

2．2．4 函數(shù)的性質(zhì)

例5設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是

( )

A．f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)

B．f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)

C．|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)

D．|f(x)|-g(x)是奇函數(shù)

(2011年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析由f(x)是偶函數(shù)、g(x)是奇函數(shù)，得|f(x)|和|g(x)|都是偶函數(shù)，因此f(x)+|g(x)|與f(x)-|g(x)|都是偶函數(shù)，而|f(x)|+g(x)與|f(x)|-g(x)的奇偶性不能確定.故選A.

2．2．5 抽象函數(shù)

例6設(shè)g(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f(x)=x-g(x)在區(qū)間[3,4]上的值域?yàn)閇-2,5]，則f(x)在區(qū)間[-10,10]上的值域?yàn)開_______．

(2011年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由g(x+1)=g(x)得，將f(x)在[3,4]上的圖像先向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到f(x)在[4,5]上的圖像，依次類推，將f(x)在[3,4]上的圖像先向左平移1個單位，再向下平移1個單位得到f(x)在[2,3]上的圖像，依次類推，可得f(x)在區(qū)間[-10,10]上的值域?yàn)閇-15,11].

2．2．6 分段函數(shù)

( )

A．[-1，2] B．[0，2]

C．[1，+∞) D．[0，+∞)

(2011年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由條件可得

解得x≥0.故選D．

2．2．7 函數(shù)的最值

例8設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=lnx的圖像分別交于點(diǎn)M,N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時t的值為

( )

(2011年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由題意知|MN|=x2-lnx(xgt;0)，不妨令h(x)=x2-lnx，則

令h′(x)=0,解得

2．2．8 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例9曲線y=ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為

( )

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析y′=ex,x=0,e0=1,故選A．

2．2．9 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題

(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1=a(agt;0)，f(an+1)=g(an)，證明：存在常數(shù)M,使得對于任意的n∈N*，都有an≤M.

(2011年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)由觀察法與二分法思想得x=0為h(x)的一個零點(diǎn)，且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，再通過研究h(x)的單調(diào)性，得h(x)有且只有2個零點(diǎn)．

(2)設(shè)h(x)的正零點(diǎn)為x0，分2種情況:①當(dāng)alt;x0時，歸納并證明a0lt;x0(任意n∈N*)；②當(dāng)a≥x0時,同樣歸納并證明an≤a(任意n∈N*)．

綜上所述，存在常數(shù)M=max{x0,a}，使得對于任意的n∈N*，都有an≤M.

本題是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問題，綜合程度較高，需要考生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和功底．

3 亮點(diǎn)掃描

2011年各地?cái)?shù)學(xué)高考試題充分體現(xiàn)了在穩(wěn)定中尋求變化、在變化中追求創(chuàng)新的思想．

3．1 解法多樣——巧法與通法相得益彰

例11設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2lnx,a∈R.

(1)若x=e為y=f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析第(1)小題比較容易解決.由f′(e)=0，可求得a=e或a=3e.再檢驗(yàn)．第(2)小題是通常的含參數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，注意到當(dāng)x∈(0,1]時不等式恒成立，因而等價于當(dāng)x∈(1,3e]時，不等式(x-a)2lnx≤4e2恒成立．

思路1(命題者提供的解答)先特殊化，由f(3e)≤4e2，得實(shí)數(shù)a的取值范圍為

再求f(x)的最大值，為此研究f(x)的單調(diào)性，而又需構(gòu)造輔助函數(shù)，通過估計(jì)零點(diǎn)，從而解決問題，但解題過程曲折繁冗．

本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力和分析、解決問題的能力.3種解法的共性是都利用了化歸思想與函數(shù)思想，但轉(zhuǎn)化的手段迥異，思路1直接轉(zhuǎn)化為求f(x)的最大值，思路2則通過變形(參數(shù)分離)轉(zhuǎn)化為求2個易求最值的函數(shù)的最值，思路3則通過恰當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為2個圖像的關(guān)系.很多省份的導(dǎo)數(shù)壓軸題都有不同的解法，旨在考查不同思維層次的考生的不同思維水平，使試卷具有較高的區(qū)分度.

3．2 數(shù)學(xué)建?！蔑@函數(shù)應(yīng)用

圖1

(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時的r.

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)根據(jù)圓柱與球的表面積、體積公式，可得

本題是實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.試題貼近學(xué)生的生活實(shí)際，旨在考查學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型及利用導(dǎo)數(shù)解決問題的能力，反映了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生學(xué)以致用的求知欲和成就感.

3．3 知識交匯——凸顯綜合能力

例13已知點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，若點(diǎn)C在函數(shù)y=x2的圖像上，則使得△ABC的面積為2的點(diǎn)C的個數(shù)為

( )

A.4 B.3 C.2 D.1

(2011年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題)

而此方程有4個實(shí)數(shù)根.故選A.

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十分廣泛，它不僅可以解決函數(shù)問題，還可以與數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何綜合.例如江西省數(shù)學(xué)高考文科試題第18題是導(dǎo)數(shù)與立體幾何的綜合，湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題、福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題是導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合.

3．4 立意高遠(yuǎn)——甄別選拔功能

例14設(shè)f(x),g(x),h(x)是R上的任意實(shí)值函數(shù)，如下定義2個函數(shù)(fog)(x)和(fgg)(x)：對任意x∈R，(fog)(x)=f(g(x))；(fgg)(x)=f(x)g(x)，則下列等式恒成立的是

( )

A．((fog)gh)(x)=((fgh)o(ggh))(x)

B．((fgg)oh)(x)=((foh)g(goh))(x)

C．((fog)oh)(x)=((fog)o(goh)(x)

D．((fgg)gh)(x)=((fgg)g(ggh)(x)

(2011年廣東省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析對選項(xiàng)B，

((fgg)oh)(x)=(fgg)(h(x))=

f(h(x))g(h(x))，

((foh)g(goh))(x)=(foh)(x)(goh)(x)=

f(h(x))g(h(x)).

故選B.

例15已知函數(shù)f(x)=ex+x，對于曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的3個點(diǎn)A,B,C，給出以下判斷：①△ABC一定是鈍角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形，其中正確的判斷是

( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

(2011年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

畫出圖像，可得△ABC一定是鈍角三角形，不可能是等腰三角形.故選B.

例14是高等數(shù)學(xué)背景下的閱讀理解題，類似的閱讀理解題還有浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題、江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第19題.例15是函數(shù)凹凸性的簡單性質(zhì).許多函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題立意高遠(yuǎn)、內(nèi)涵豐富，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的考查.

4 復(fù)習(xí)對策

4．1 理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

在平時的教學(xué)中，要立足于教材，重視教材的使用.雙基的落實(shí)是在一點(diǎn)一滴的潛移默化之中的，要精選習(xí)題、注重通性通法、突出思維能力和運(yùn)算能力，及時引申拓展、培養(yǎng)歸納能力.

函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)的基本性質(zhì)、圖像問題應(yīng)熟悉其基本知識及基本策略和基本數(shù)學(xué)思想方法.在復(fù)習(xí)時，將這些基本知識、基本方法聯(lián)系起來，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到舉一反三、融會貫通的效果.

函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考考查的熱點(diǎn).解決這類問題的關(guān)鍵是通過合理的變形轉(zhuǎn)化為一個方程的實(shí)數(shù)根的問題，然后借助于二分法和數(shù)形結(jié)合思想，或一元二次方程實(shí)根的分布解決問題，體現(xiàn)了解決函數(shù)問題的基本思想.

利用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的三大問題：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值、求函數(shù)的最值.其他問題如不等式證明、含參不等式有解、含參不等式恒成立等問題也是高考考查的熱點(diǎn)，解決這些問題需要構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，轉(zhuǎn)化為三大問題.

只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出概念的理解和運(yùn)用，突出思維能力的培養(yǎng)，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).教學(xué)中應(yīng)做到“三性”，即對知識理解的深刻性、掌握的全面性、運(yùn)用的靈活性，以使學(xué)生形成綜合性的知識體系.

4.2 培養(yǎng)探究能力

只有在課堂上適度地讓學(xué)生探究，才能讓學(xué)生適應(yīng)高考的新問題.導(dǎo)數(shù)問題在很多省份的高考試卷中處于壓軸題的位置，需要考生在新的情景中靈活運(yùn)用知識、方法解決問題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)提出了很高的要求.這昭示我們：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生對問題分析的態(tài)度及探究的目光，從人的可持續(xù)發(fā)展所需要的能力來看，這是十分必要的.在教學(xué)中,引入條件或結(jié)論具有開放性的問題和某些從實(shí)際生活中提出的自己尋求答案的問題，或者對課堂上的某些問題適當(dāng)加以延伸、推廣等，并引導(dǎo)學(xué)生加以解決，這會使課堂教學(xué)充滿生機(jī)和活力，有利于學(xué)生思維能力得到提升.