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    廣義Schur補(bǔ)為零的一些分塊矩陣的Drazin逆表達(dá)式

    2011-06-05 08:59:48卜長(zhǎng)江劉廣峰白淑艷
    關(guān)鍵詞:子塊分塊表達(dá)式

    卜長(zhǎng)江,劉廣峰,白淑艷

    (哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院,黑龍江哈爾濱150001)

    矩陣的Drazin逆表示不僅在矩陣代數(shù)中有重要意義,而且在奇異差分方程、廣義系統(tǒng)、馬爾科夫鏈和迭代法等領(lǐng)域中都有十分重要的應(yīng)用[1-5].尤其在奇異線性微分方程的解表示中[6],矩陣的Drazin逆理論更是不可或缺的工具.1979年,以二階奇異系統(tǒng)為背景,Campbell等[1]提出一個(gè)2×2分塊矩陣Drazin逆表達(dá)式的open問(wèn)題.1983年,Campbell[2]再次提出類似的open問(wèn)題,引起學(xué)者們極大的關(guān)注,但這些問(wèn)題至今未能完全解決.近年來(lái)一些學(xué)者在分塊矩陣的子塊滿足一定條件下給出其Drazin逆表達(dá)式[7-14].在分塊矩陣的廣義Schur補(bǔ)為零或者可逆的條件下給出其Drazin逆表達(dá)式的問(wèn)題是近幾年的熱點(diǎn)問(wèn)題[7-10].本文在分塊矩陣的廣義Schur補(bǔ)為零且子塊滿足相應(yīng)條件下給出了其Drazin表達(dá)式,推廣了 Hartwing[9]及 Martinez-Serrano[10]給出的若干結(jié)果.

    1 引理

    為了得到本文的主要結(jié)果首先給出如下引理.引理 1[10]設(shè) P,Q∈Cn×n,若 P2Q=O,Q2=O且PQ是k次冪零矩陣,則

    其中:k=ind(PQ),t=ind(P2).

    引理 2[10]P,Q∈Cn×n,若 P2Q=O,Q2=O,QPQ=O且(PQ)2=O,則(P+Q)D=PD+Q(PD)2+PQ(PD)3.

    2 主要結(jié)果

    該文主要是得到下面形式的2×2分塊矩陣Drazin逆表達(dá)式

    式中:A和D是方陣,設(shè)M的廣義Schur補(bǔ)S=DCADB等于零.

    證明:由于M=PNP-1,令N=P1+P2,

    所以,由引理1得

    因?yàn)镸D=PNDP-1,

    下面給出定理1的推論,此推論恰好是文獻(xiàn)[10]的結(jié)果.

    推論 設(shè)分塊矩陣M如同式(1).若BCAπ是r次冪零矩陣,ABCAπ=O,則

    其中:

    文獻(xiàn)[9]在 CAπB=O,AAπB=O 條件下給出分塊矩陣M的Drazin逆表達(dá)式.本文的定理2在CAπBC=O且AAπBC=O的條件下給出M 的的Drazin逆表達(dá)式.顯然,CAπBC=O和AAπBC=O是CAπB=O和AAπB=O成立的必要條件.

    定理2 設(shè)分塊矩陣M的形式如同式(1).若CAπBC=O,AAπBC=O,則

    其中:B11、B12、Z 如定理中所示.

    通過(guò)與定理1和定理2類似的證明方法分別給出定理3和定理4.

    證明:證明過(guò)程與定理2類似,略.

    定理4 設(shè)分塊矩陣M的形式如同式(1).若AπBC 是 p次冪零矩陣,(A+ADBC)AπBC=O,則

    其中:

    證明:證明過(guò)程與定理1類似,略.

    3 數(shù)值例子

    針對(duì)上述定理的應(yīng)用分別給出其數(shù)值例子.

    例1

    因?yàn)?A+BCAD)BCAπ=O,(BCAπ)2=O,

    所以滿足定理1的條件,

    從而,由定理1得:

    因?yàn)锳AπBC=O且CAπBC=O.

    所以滿足定理2的條件,從而,由定理2得

    因?yàn)?CAπBCAπ=O(A+BCAD)BCAπ=O,所以滿足定理3的條件,從而,由定理3得:

    因?yàn)?A+ADBC)AπBC=O 且(AπBC)3=O,所以滿足定理4的條件.從而,由定理4得

    4 結(jié)束語(yǔ)

    [1]CAMPBELL S L,MEYER C D.Generalized inverse of linear transformations[M].New York:Dover Publications,1991:36-87.

    [2]CAMPBELL S L.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations[J].Linear and Multilinear Algebra,1983,14:195-198.

    [3]MEYER C D,SHOAF J M.Updating finite Markov chains by using techniques of group inversion[J].Statist Comput Simulation,1980,11(11):163-181.

    [4]KIRKLAND S J,NEUMANN M,XU J.Convexity and elasticity of the growth rate in size-classified population model[J].SIAM Matrix Anal Appl,2004,26(1):170-185.

    [5]CLIMENT J J,NEUMANN M.A semi-iterative method for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index[J].Compute Appl Math,1997,87(1):21-38.

    [6]CAMPBELL S L,MEYER C D,ROSE N J.Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients[J].SIAM J Appl Math,1976,31(3):411-425.

    [7]MIAO J.Results of the Drazin inverse of block matrices[J].Shanghai Normal University,1989,18:25-31.

    [8]WEI Yimin.Expressions for the Drazin inverse of a 2×2 block matrix[J].Linear and Multilinear Algebra,1998,45(2/3):131-146.

    [9]HARTWIG R,LI Xiezhang,WEI Yimin.Represe-tations for the Drazin inverse of a 2 × 2 block matrix[J].SIAM Matrix Anal Appl,2006,27(3):757-771.

    [10]MARTINEZ-SERRANOAND M F,CASTRO-González N.On the Drazin inverse of block matrices and generalized Schur complement[J].Applied Mathematics and Computation,2009,215(7):2733-2740.

    [11]HARTWIG R,WANG Guorong,WEI Yimin.Some additive results on Drazin inverse[J].Linear Algebra Appl.,2001,322(1/2/3):207-217.

    [12]LI Xiezhang,WEI Yinmin.A note on the representations for the Drazin inverse of 2×2 block matrix[J].Linear Algebra Appl,2007,423(2/3):332-338.

    [13]BU Changjiang,LI Min,ZHANG Kuize,et al.Group inverse for the block matrices with an invertible subblock[J].Applied Mathematics and Computation,2009,215(1):132-139.

    [14]BU Changjiang,ZHAO Jiemei,ZHENG Jinshan.Group inverse for a class 2×2 block matrices over skew fields[J].Applied Mathematics and Computation,2008,204(1):45-49.

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