Rushton攪拌釜氣含率分布CT彩色數(shù)字成像模型研究

劉躍進(jìn)，孔麗娜，白鴿，韓路長，曹楊，羅和安

(湘潭大學(xué)化工學(xué)院化工過程模擬與優(yōu)化教育部工程研究中心，湖南湘潭411105)

CT(computed tomography)是利用輻射信號對被測對象進(jìn)行斷面掃描，采集通過被測對象衰減后的掃描信號，利用計算機手段對所采集信號進(jìn)行數(shù)學(xué)處理和圖像重構(gòu)，得到被測對象某種指標(biāo)的斷面圖像和數(shù)字分布，其發(fā)射信號一般為χ或γ射線，是一種無介入、非接觸、不受體系濃度和高溫高壓限制的探測方法，可以一次得到被測對象斷面二維測量結(jié)果，測量結(jié)果可以圖像和數(shù)字化同時顯示［1］.γ射線由于具有較強的穿透力在國外早已被應(yīng)用于多相流研究［2-4］，國內(nèi)雖然有關(guān)于 γ-CT 的研究報道［5-7］，但實際應(yīng)用測量成像的報道甚少［8-9］.在多相流領(lǐng)域，CT處理的對象是具有瞬時隨機不確定性分布的多相流體，這與處理具有靜態(tài)確定分布的多相物質(zhì)有一定區(qū)別，所涉及到的數(shù)學(xué)處理和圖像重構(gòu)方法也不盡相同.γ射線CT用于多相流測量，主要是測量多相流斷面分相分率分布，如氣液體系氣含率分布和氣固或者液固體系固含率分布［10］.

1 CT測量氣含率分布原理

當(dāng)γ射線輻射信號通過流體介質(zhì)時，符合Beer-Lambert定律:

式中:Φ為ρμ的乘積，是流體參數(shù);I0、I分別為放射源發(fā)射信號、探測器接受信號的強度.

對單相流體，分別有

下標(biāo)d、f分別代表流體分散相和連續(xù)相.

對于兩相流體，有

當(dāng)以ε表示兩相流體的分相分率(指體積分率);L為輻射所通過兩相流體距離，則有

由式(2)和(5)，可得

式(6)反映了利用輻射衰減定律來求兩相流體分相分率的基本原理，但這里求得的是輻射距離L上流體分相的平均分率，而分相分率ε存在著一定的分布.當(dāng)以f(l)表示流體參數(shù)Φ在任一輻射距離L上的分布，則有

式(7)是普遍意義上的Beer-Lambert輻射衰減定律，它將輻射信號的衰減變化與流體參數(shù)Φ的分布關(guān)聯(lián)起來.

CT信號的發(fā)射與收集有多種方式，如圖1是一個輻射源和多個探測器旋轉(zhuǎn)的方式.按照CT裝置的空間分辨率，將兩相流體斷面劃分為很多像素小區(qū)間.圖1所示是一個輻射照的情況.

參照圖2，容器斷面上任一割線L的方程可表示為

這樣，通過容器斷面任一輻射信號衰減方程可表示為

方程(9)實際上是一個圖像重構(gòu)問題.數(shù)學(xué)上可以證明，如果P(r，θ)在無限平面上連續(xù)，且對r有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，通過Radon逆變換［11］，可以求得流體參數(shù)的唯一分布函數(shù)為

由于兩相流體積具有線性加和性，則

這樣可求得氣含率在容器斷面上的分布為

式中:Φd、Φf應(yīng)由式(5)求出以消除容器壁對γ射線信號的衰減影響.

圖1 一個輻射照中射線通過容器像素示意圖Fig.1 The schematic of CT projections through pixel area of reactor in a view

圖2 幾何構(gòu)型的層析投影Fig.2 The geometrical configuration of tomographic

以上說明了γ射線CT測量兩相流分散相分布的基本原理和流體參數(shù)分布Φ的唯一可解性，式(10)、(12)即為氣含率分布求取式.但由于γ射線CT輻射信號的發(fā)射、衰減、接受和容器中兩相流體的瞬時分布均是隨機過程，因此式(10)、(12)很難直接求解，而必須采用數(shù)理統(tǒng)計方法來建立氣含率分布的數(shù)字成像模型.

2 CT測量氣含率分布數(shù)字成像模型

2.1 最大似然估計方法

對于方程(9)這樣的圖像重構(gòu)問題，可以通過大量的實驗測量數(shù)據(jù)P(r，θ)對f(x，y)進(jìn)行估計來實現(xiàn) CT 彩色數(shù)字圖像［12］，如過濾背投影法［13］、代數(shù)重構(gòu)法［14］和最大似然估計法［15］等.當(dāng)把 CT發(fā)射和接受信號過程看成Poisson分布、流體吸收衰減信號過程為二項分布時，適用最大似然估計法來進(jìn)行參數(shù)估計.

設(shè)被測變量樣本空間為Y，其概率密度分布函數(shù)為g(Y，Φ)，Φ為待估計參數(shù).要求一個完整母空間X，其概率密度分布函數(shù)為f(X，Φ)，且與Y具有對應(yīng)關(guān)系h(X)=Y，Y是X的一個子空間，具體步驟為:

1)在已知實驗樣本空間Y和參數(shù)Φ(開始時需假定Φ的初值)條件下，基于發(fā)射和接受輻射信號的Poisson分布和輻射衰減信號的二項分布隨機模型，對完整母空間X進(jìn)行估計:

2)在所估計X空間下，求其聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，并對其聯(lián)合概率密度分布函數(shù)采用線性最大似然估計法求參數(shù)Φ的迭代式:

先求表達(dá)式:

令

求得

3)以Y、X和Φ代入式(14)判斷是否達(dá)到最大，如果是，則Φ即為所求;如果不是，重復(fù)步驟1)、2)，直至達(dá)到最大為止.

2.2 基本假定

假定1 在一輻射照內(nèi)以橫排像素為單元進(jìn)行參數(shù)估值.雖然這個假設(shè)與實際情況出入很大，但這樣做的好處一是使估值過程大大簡化并得以進(jìn)行，二是這個誤差權(quán)重只占1%左右，因為旋轉(zhuǎn)一周有近百個輻射照，而最后結(jié)果是對所有輻射照情況下所估值再求平均.

假定2 放射源發(fā)射信號數(shù)即為進(jìn)入像素橫排Gi的信號數(shù)，放射源發(fā)射信號數(shù)和探測器接受輻射衰減信號數(shù)yi均分別用平均值為d和λi為的Poisson概率分布來描述，而它們之間的信號傳遞則用二項概率分布來描述.

2.3 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

放射源在一個輻射照時間Δt內(nèi)所發(fā)射信號數(shù)的平均值為

根據(jù)輻射信號衰減式(7)，任一探測器在Δt時間內(nèi)所接受信號數(shù)的平均值為

按照假設(shè)2，有

式中:M、N分別為一個輻射照內(nèi)的輻射線總數(shù)和橫排像素總數(shù);Gi、Ni分別表示與輻射線i初次相遇和最后離開的橫排像素序號數(shù).

當(dāng)為xi，j的輻射信號進(jìn)入橫排像素j時，一部分被流體介質(zhì)所吸收，一部分又繼續(xù)輻射出去.按照假定2，離開的輻射信號數(shù)為xi，j+1的概率是:

各橫排像素之間是相互獨立的，故所有像素區(qū)間輻射信號數(shù)的聯(lián)合概率密度為

取對數(shù)，得

式中:R與Φj為無關(guān)項.按照式(7)，進(jìn)入橫排像素j的輻射信號數(shù)xi，j的期望值是:

又

在給定進(jìn)入橫派像素j的輻射信號數(shù)xi，j條件下，探測器接受輻射衰減信號數(shù)yi的概率是:

xi，j服從平均值為 γi，j的 Poisson 分布，而在確定

xi，j條件下的 yi則服從成功概率為 γyi/γi，j的二項分布，因此這兩者的聯(lián)合概率密度是:

給定yi條件下xi，j的概率密度是:

由式(30)可知，(xi，j-yi)在給定 yi條件下服從期望值為(γi，j-γyi)的 Poisson 分布，故有

式(32)用來完成式(13)即對X的估值.對式(23)中的Φj求偏導(dǎo)，并令其等于0，得

當(dāng)容器斷面S＜1時，有如下近似式

常見流體水的 Φ為0.086 cm，空間分辨率2 mm，ΔliΦj=0.017 2，滿足式(34)，這樣可解得

式(35)即為φj的迭代式.

通過式(25)～(27)、(32)、(35)可對參數(shù)Φ進(jìn)行反復(fù)估值，直至式(23)達(dá)到最大值為止.

改變輻射照的位置，又可對另外一組流體參數(shù)Φ矢量進(jìn)行類似的估值.然后按照所有像素小區(qū)間的幾何位置，加和求平均，即得各像素小區(qū)間的流體參數(shù)Φ.對每個像素小區(qū)間，有

得

這樣就求出了每個小像素區(qū)間分相分率，其計算過程用Fortrun語言編程計算，并且通過Matlab實現(xiàn)分相分率的彩色圖像顯示和數(shù)字變化曲線.

3 實驗條件

3.1 測量參數(shù)

實驗測量參數(shù)如下:

1)100m Ci的137Cs為放射源，7個NaI晶體探測器扇形排列，每個探測器前面都裝有一個長7 cm、直徑2.5 cm的準(zhǔn)直器，準(zhǔn)直器中間有一個寬2 mm、高5 mm、長70 mm的矩形孔讓放射線通過到達(dá)探測器，以減少Compton漫反射效應(yīng).CT裝置的空間分辨率和密度分辨率分別是2 mm和40 kg/m3.

2)采用20 cm內(nèi)直徑的標(biāo)準(zhǔn)Rushton氣液攪拌釜，壁厚6.5 mm，擋板厚度1.5 mm，4 塊，攪拌漿軸直徑8 mm，在15 cm液高處掃描.

3)探測器間距5°，整組探測器又以0.2°間隔旋轉(zhuǎn)4.8°形成一個輻射照.在一個輻射照內(nèi)一個探測器停留25個測量位置，每個測量位置停留5.7 s，采樣頻率20 Hz.這樣在一個測量位置采樣114個，最后在360°范圍內(nèi)均勻旋轉(zhuǎn)測量100個輻射照，共采集1 995 000個數(shù)據(jù)，形成17 500條輻射線信號，以滿足γ射線隨機信號采樣和CT測量裝置空間分辨率的要求.旋轉(zhuǎn)一周共花4 h之久，又是依據(jù)大量隨機信號進(jìn)行統(tǒng)計處理，因此測得的是氣含率分布的時均值.

3.2 掃描位置

在攪拌時，攪拌槳透平上、下方空間會形成一個負(fù)壓循環(huán)區(qū)，分布器上升的氣泡被攪拌槳葉片及液面剪切力打碎分散，形成大量小氣泡，一部分快速進(jìn)入此內(nèi)循環(huán)負(fù)壓空間，另一部分被旋轉(zhuǎn)液體甩向外圍.通過實驗觀察，掃描位置被選定在形成相對均勻的氣含率斷面分布的3/4靜液高處.

3.3 CT掃描實驗設(shè)計

氣液Rushton攪拌釜氣含率分布CT掃描實驗設(shè)計見表1.

表1 氣含率分布CT掃描實驗Table 1 CT scan experiment of gas holdup distribution r/m

4 結(jié)果與討論

氣含率分布受攪拌釜尺寸及操作條件等因素的影響，為研究所構(gòu)建的CT測量氣含率分布彩色數(shù)字成像模型可行性及準(zhǔn)確性，本文對比研究了不同操作條件下氣含率斷面CT彩色數(shù)字圖像.

4.1 攪拌轉(zhuǎn)速的影響

圖3 18.88 L/min通氣量下不同攪拌轉(zhuǎn)速CT圖像Fig.3 CT images of gas holdup distribution with gas flow rate 18.88 L/min at different impeller rotating speeds

圖3為通氣量18.88 L/min，攪拌轉(zhuǎn)速不同氣含率斷面CT彩色數(shù)字圖像.其清楚表明CT圖像與釜實際尺寸完全一致，這說明了數(shù)字成像算法的可行性;同時，CT彩色數(shù)字圖像也清楚形象地表現(xiàn)出3種不同攪拌轉(zhuǎn)速下不同攪拌區(qū)氣含率分布的差別.從CT彩色成像圖還可看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，氣含率主要在攪拌槳正上方空間增加較多.為了驗證CT彩色數(shù)字圖像的準(zhǔn)確性，圖4列出了上述3種不同攪拌轉(zhuǎn)速下平均氣含率沿?zé)o因次半徑的分布曲線.

圖4 通氣量18.88 L/min下不同攪拌轉(zhuǎn)速氣含率沿?zé)o因次半徑分布曲線Fig.4 The effect of impeller rotating speed on gas holdup distribution at gas rate 18.88 L/min

由圖4可知，在同一通氣量下，不同攪拌轉(zhuǎn)速的徑向氣含率分布趨勢幾乎相同，從攪拌器中心位置到器壁均呈先增大后減小趨勢，當(dāng)無因次半徑在0.25～0.6之間時，達(dá)到最大，并且此區(qū)間氣含率分布隨攪拌轉(zhuǎn)速的增加而明顯增加，由氣含率斷面CT彩色數(shù)字圖像圖角度也可得出同樣結(jié)論，證明了實驗測量及數(shù)字成像算法的準(zhǔn)確性.

4.2 通氣量的影響

圖5為攪拌轉(zhuǎn)速800 r/min，不同通氣量的氣含率斷面分布CT彩色成像圖.如圖所示，在3種通氣量下，氣含率分布均隨通氣量的增大而增大，通氣量對氣含率的影響明顯大于攪拌轉(zhuǎn)速對其的影響.圖6列出了上述3種不同通氣量下平均氣含率沿?zé)o因次半徑的分布曲線.

如上圖所示，在整個無因次半徑區(qū)間，氣含率分布均隨通氣量的增大而增大，當(dāng)無因次半徑在0.25到0.6之間時，增加趨勢更為顯著.此結(jié)果與圖5所呈現(xiàn)的結(jié)果基本一至，進(jìn)一步證明了實驗測量及數(shù)字成像算法的準(zhǔn)確性.

圖5 攪拌轉(zhuǎn)速800 r/min下不同通氣量下CT圖像Fig.5 CT images of gas holdup distribution with impeller rotating speed 800 r/min at different gas flow rates

圖6 攪拌轉(zhuǎn)速800 r/min下不同通氣量平均氣含率沿?zé)o因次半徑變化曲線Fig.6 The effect of gas rate on gas holdup distribution at impeller rotating speed 800 r/min

4.3 分布器的影響

圖7為通氣量9.44 L/min，攪拌轉(zhuǎn)速500 r/min下2種分布器的氣含率斷面CT彩色數(shù)字圖像.觀察CT彩色數(shù)字圖像可知，16孔0.5 mm孔徑情況下，從圓環(huán)氣體分布器上升至攪拌槳間的氣泡較8孔1.5 mm孔徑下略密略小，但兩者差別不大.為進(jìn)一步定量比較，圖8用Excel列出了上述2種不同分布器下平均氣含率沿?zé)o因次半徑的分布曲線.

圖7 通氣量9.44 L/min，攪拌轉(zhuǎn)速500 r/min下不同分布Fig.7 CT images of gas holdup distribution at gas rate 9.44 L/min，impeller rotating speed 500 r/min with different spargers

圖8 通氣量9.44 L/min，攪拌轉(zhuǎn)速500 r/min下分布器平均氣含率沿?zé)o因次半徑變化曲線Fig.8 The effect of gas sparger on gas holdup distribution at gas rate 9.44 L/min，impeller rotating speed 500 r/min

如圖8所示，2種分布器下平均氣含率沿?zé)o因次半徑分布幾乎一致，只有攪拌槳區(qū)有略微差別，與圖7所觀察結(jié)果一致.

5 結(jié)論

1)構(gòu)建了γ射線CT測量Rushton攪拌釜氣含率分布的彩色數(shù)字成像模型.根據(jù)137Cs γ射線發(fā)射信號和接受信號的Poisson分布模型和兩相流體吸收衰減輻射信號的二項分布模型，在給出接受信號實驗樣本空間條件下，采用最大似然參數(shù)估計方法，對容器斷面氣液兩相流體吸收衰減輻射γ射線信號的二維空間進(jìn)行了參數(shù)估計，推導(dǎo)和建立了其參數(shù)估計的數(shù)學(xué)模型.

2)運用所構(gòu)建的氣含率分布的彩色數(shù)字成像模型，對Rushton氣液攪拌釜在不同通氣量、不同攪拌速率及不同氣體分布器狀態(tài)下的氣含率進(jìn)行了圖像重構(gòu)，通過CT彩色數(shù)字圖像與平均氣含率沿?zé)o因次半徑變化實驗值的比較研究，證明所構(gòu)建的CT測量氣含率分布彩色數(shù)字成像的模型有效可行，所建CT彩色數(shù)字圖像清晰準(zhǔn)確、對比度好，分辨率高，受噪聲影響小.

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