關(guān)于Taylor公式的余項及Taylor級數(shù)的研究

許佰雁

（長春大學(xué)光華學(xué)院，吉林長春130117）

1 Taylor公式

1.1 帶有Peano余項的公式[1-2]

設(shè)f（x）在x0存在導(dǎo)數(shù),則必有

即

此結(jié)論的反問題為:若 f（x）＝f（x0）＋a（x－x0）＋o（x－x0）,則必有f（x）在x0可導(dǎo),且f′（x0）＝a。泰勒公式 設(shè)f（x）在x0存在n階導(dǎo)數(shù),則在x0附近有

證明僅以n＝2的情形為例證明

因為

則

即r2（x）＝o［（x－x0）2］。

同理可證n時的情況,運用n次洛比達法則可知,余項為（x－x0）n的高階無窮小。

利用泰勒公式可以比較兩個函數(shù)的大小例 1 證明?x＞0，有

證明 ?x＞0，

又因為

關(guān)于帶有Peano余項的泰勒公式做2點說明:

(1)f（x）在 x0點有一階導(dǎo)數(shù)

?f（x）＝f（x0）＋f′（x0）（x－x0）＋o（x－x0）；

(2)f（x）在 x0點有 n 階導(dǎo)數(shù)時

?f（x）＝Pn（x）＋o［（x－x0）n］。

對于(2)反之不成立,即若f（x）可表示為一個多項式與一個余項的和,則多項式中的函數(shù)未必就是f（x）在x0點的各階導(dǎo)數(shù)值。

例 2 設(shè) f（x）在x＝0 附近有定義,且

則

所以此函數(shù)的余項為o（x2）,但

1.2 帶有Lagrange型余項[3-4]

Lagrange中值定理設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù),在（a，b）內(nèi)可導(dǎo),則?ζ∈（a，b），使得

將上述定理推廣到 f（x）在［x0，x］上連續(xù),在（x0，x）可導(dǎo),則?ζ∈（x0，x）,使得

f（x）＝f（x0）＋f′（ζ）（x－x0）。

若 f（x）在 I上有 n＋1 階導(dǎo)數(shù),

證明以n為例證明

即當(dāng) n＝1 時,f（x）在 U（x0）上有二階導(dǎo)數(shù),有

因為必有

f（x）＝f（x0）＋f′（x0）（x－x0）＋R（x）,下證

定義函數(shù)

利用此形式泰勒公式可以求出函數(shù)的近似值。例3計算e的近似值,使誤差不超過10－6。

解 可以利用ex在x－1的泰勒公式,有

容易算出n＝9時,有R9（1）＜10－6,于是

2 Taylor級數(shù)

設(shè) f（x）∈C∞(無窮次連續(xù)可微),當(dāng) x0＝0 時,f（0），f′（0），f″（0），…，f(n)（0），…均存在,則

若收斂半徑為r,則

(2)s（x）是否等于f（x）?不一定。例4

（n＞1）。但其泰勒展開式為

后者收斂于 0,而?x∈U°（0），g（x）≠0。

說明函數(shù)g（x）存在泰勒級數(shù)但不收斂于g（x）。

(4)研究泰勒公式

一個函數(shù)有無窮階導(dǎo)數(shù)不一定可展成泰勒級數(shù),反例同上。

一般的

u1（x）＋u2（x）＋…＋un（x）＋…＝s（x）,u1′（x）＋u2′（x）＋…＋un′（x）＋…≠s′（x）,只有當(dāng)（x）一致

3 泰勒公式及級數(shù)的應(yīng)用

例5函數(shù)f(x)∈C2,f″（x）≠0,若

f（x＋h）＝f（x）＋h f′（x＋θh）0＜θ＜1

證法1由拉格朗日中值定理

f′（x＋θh）＝f′（x）＋θh f″（x＋θ1θh），

0＜θ1＜1

則

f（x＋h）＝f（x）＋h f′（x）＋θh2f″（x＋θ1θh），

對f（x＋h）直接泰勒展開得

所以

證法2由于

f′（x＋θh）＝f′（x）＋θhf″（x）＋o（θh），

f（x＋h）＝f（x）＋hf′（x）＋θh2f″（x）＋o（θh）h，

對 f（x＋h）直接泰勒展開得

所以

所以

[1]汪林.數(shù)學(xué)分析中的問題和反例[M].昆明:云南人民出版社,1990.

[2]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].3版.北京:高等教育出版社,1992.

[3]朱永生,劉莉.基于泰勒公式應(yīng)用的幾個問題[J].長春師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,25(4):8.

[4]劉云,王陽,催春紅.淺談泰勒公式的應(yīng)用[J].和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報，2008,28(1):7.