突變分支過程常返性的一個證明

鄒楊，許安見

（1重慶教育學院經濟貿易系，重慶400067；2重慶郵電大學數(shù)理學院，重慶400065）

20世紀80’，Brockwell等人研究了一類具有突變率的生滅分支過程，其保守q-矩陣

其中IA指集合A的特征函數(shù)，λi指生長系數(shù)，μi指滅亡系數(shù)，di為非負數(shù)表示突變率。假設μ0＝d0＝0，數(shù)cij（j＝0，1，…，i-1，i≥1）是非負的且滿足cij表示從狀態(tài)i轉移到狀態(tài)j的突變概率。我們假設λi＝a+ai，μi＝0，di＝d，i≥0，cij＝1/i，j＝0，1，…，i-1，得到一種具有固定突變率的線性生長分支過程，簡稱為突變分支過程。

定義1［2］突變分支過程

狀態(tài)空間E＝Z+＝｛0，1，2，…｝，其轉移函數(shù)是P（t）＝｛pij（t）；i，j∈E＝Z+｝

并且滿足Kolmogorov前向方程：P′（t）＝P（t）Q

而其q-矩陣Q＝（Qij；i，j∈E）定義為：

其中：a＞0，d＞0

定義2［3］常返性

引理1［2］C是一個相通類，設Q＝（Qij；i，j∈E）在C上保守，則下面結論等價：

（1）C對于fij（t）是常返的；

（2）對于每一個a∈C，方程

不存在非常數(shù)的有界解，j∈C。

引理2［3］（Reuter，1957）假設｛fn，n≥1｝，｛gn，n≥1｝，｛hn，n≥1｝是非負數(shù)列，z0和z1是兩個數(shù)，滿足0≤z0＜z1。定義數(shù)列｛zn，n≥2｝如下

則數(shù)列｛zn，n≥0｝是有界的當且僅當

其中

定理當d≥2a時，則Q＝（Qij；i，j∈E）是常返的；

當d＜2a時，則Q＝（Qij；i，j∈E）是瞬時的。

由突變分支過程q-矩陣定義，i＝1，噎，n，噎可表示為如下矩陣：

其中：當i＜j-2時，qij＝0

由引理2，｛xn｝有界當且僅當

當d＝2a時，xn+1-xn＝xn-xn-1，?。鹸n｝＝（0，0，…），方存在常數(shù)有界解，從而Q常返。

故當d＜2a時，則Q＝（Qij；i，j∈E）是瞬時的；當d≥2a時，則Q＝（Qij；i，j∈E）是常返的。

［1］Chen An-yue，Zhang Han-jun，Existence，Uniquness，and Construction for Stochastically Monotone Q-Processes［J］，Southeast Asian Bulletin ofMath，1999，23：559-583.

［2］鄒楊，李揚榮，許安見.突變分支過程導出的積分半群及其性質［J］西南大學學報（自然科學版），2010.

［3］Anderson W.J.，Continuous-time Markov Chains［M］，New York：Spring-Verlag，1991.