關(guān)于丟番圖方程x3 ±1=3Dy2

韓云娜，梁 勇

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安 710127)

關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2

韓云娜，梁 勇

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安 710127)

設(shè)D是素?cái)?shù).主要研究丟番圖方程x3±1= 3Dy2正整數(shù)解的情況.利用初等數(shù)論的方法得到了丟番圖方程x3±1= 3Dy2無(wú)正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.

丟番圖方程；正整數(shù)解；素?cái)?shù)

設(shè)N是全體正整數(shù)的集合，D是無(wú)平方因子正整數(shù)，方程

是一類基本而又重要的三次丟番圖方程，有關(guān)它的研究可以追溯到Euler時(shí)代[1].文獻(xiàn)[2]證明了當(dāng)D不能被6k+1形素?cái)?shù)整除時(shí)，方程（1）無(wú)解；文獻(xiàn)[3-4]證明了如果p= 12r2+1（p是奇素?cái)?shù)，r是正整數(shù)），方程x3± 1= 3py2，x,y∈N無(wú)解；文獻(xiàn)[5]證明了如果p= 3(3k+ 1)(3k+ 2)+ 1（p是奇素?cái)?shù)，k是非負(fù)整數(shù)），則方程x3+ 1= 3py2無(wú)正整數(shù)解.本文運(yùn)用初等數(shù)論的方法證明了以下結(jié)果.

首先引入以下引理：

引理1[6]設(shè)不定方程Ax2?By2=1，A>1，A,B∈N，有解程的基本解，則方程的全部正整數(shù)解x,y可由下式給出：

定理1 設(shè)D是奇素?cái)?shù)，若方程

無(wú)正整數(shù)解.

證明：設(shè)方程（3）的正整數(shù)解為x,y，根據(jù)Fermat小定理得x3≡x(mod3)，故從（3）式可得x+1≡ 0(mod3)，此時(shí) gcd(x+ 1,x2?x+1) =3，且 9/|x2?x+1，故可將（3）式分解為以下兩種情形：

現(xiàn)對(duì)以上兩種情形分別討論.

情形I：由（4）式可得：

從（6）式可知方程（2）有解 (2b, 6a2? 1).于是由定理1的條件知，若 (2,y0)是方程（2）的基本解，則根據(jù)引理1有：

情形II：由文獻(xiàn)[7]的證明結(jié)果可知其無(wú)正整數(shù)解.因此方程（2）無(wú)正整數(shù)解.

定理2 設(shè)D是奇素?cái)?shù)，若方程（2）有形如(2,y0)的基本解，且存在y0的素因子p，使得

無(wú)正整數(shù)解.

證明：設(shè)方程（7）的正整數(shù)解為x,y，根據(jù)Fermat小定理得x3≡x(mod3)，故從（7）式可得x?1≡ 0(mod3)，此時(shí) gcd(x?1,x2+x+ 1)=3.根據(jù)定理1的證明，從（7）式可得：

由（8）式可得：

從（9）式可知方程（2）有解 (2b, 6a2+ 1).于是由定理2的條件知，若 (2,y0)是方程（2）的基本解，則根據(jù)引理1有：

[1]Mordell L J. Diophantine Equations [M]. London: Academic Press, 1969: 156-183.

[2]柯召, 孫琦. 關(guān)于丟番圖方程[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1989, (2): 1-5.

[3]樂(lè)茂華. 關(guān)于Diophantine方程[J]. 保定師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào), 2004, 17(2): 1-2.

[4]樂(lè)茂華. 關(guān)于Diophantine方程[J]. 廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2005, 22(4): 22-23.

[5]陳曉化, 李志平. 關(guān)于Diophantine方程[J]. 重慶工學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2009, 23(4): 44-45.

[6]Walker D T. On the Diophantine equation [J]. The American Mathematical Monthly, 1967, 74(5): 504-513.

[7]張同斌, 潘家宇. 關(guān)于丟番圖方程[J]. 河南教育學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1999, 8(3): 1-3.

Study on Diophantine Equationx3±1=3Dy2

HAN Yunna, LIANG Yong
(Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, China 710127)

LetDbe a prime number. Positive integer solutions of the Diophantine equationx3±1=3Dy2were studied. And a sufficient condition for nonexistence of positive integer solution to the Diophantine equation was obtained by using elementary number theory.

Diophantine Equation; Positive Integer Solution; Prime Number

(編輯：王一芳)

O156.1

A

1674-3563(2011)02-0027-03

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-05-08

韓云娜(1984- )，女，陜西西安人，碩士研究生，研究方向：數(shù)論