理解基礎(chǔ)知識(shí) 掌握基本方法 運(yùn)用解題策略
——2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第18題解讀

● (豫才中學(xué) 浙江紹興 312000)

解三角形題是考生必攻之第一大題.取下此題意義非同凡響，因此關(guān)于第一大題的命題思路、答題情況、化解方法、教學(xué)啟示就成為了眾多考生和教師努力探尋的目標(biāo)和方向，下面從這4個(gè)方面透視解三角形大題．

(1)求角C的大?。?/p>

(2)求sinA+sinB的最大值.

下面給出該題的標(biāo)準(zhǔn)答案.

解法1(1)由

可得

(2)sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)=

1 命題思路探尋

對(duì)于解三角形命題的基本思路是考查解三角形的2個(gè)基本定理，即正弦定理、余弦定理;考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).2010年浙江省數(shù)學(xué)高考第一大題的命題從考查正弦定理的三角形面積公式入手，又兼考查余弦定理的逆用，再求據(jù)特殊三角函數(shù)值求角.僅第(1)小題就實(shí)現(xiàn)了“三考”；對(duì)于第(2)小題則采用2個(gè)和差求最值.求解的方法既可從角求最值，也可結(jié)合基本不等式求最值,可謂“一標(biāo)多路”型問(wèn)題，可考查考生靈活掌握三角函數(shù)的解題技巧和解題能力．

2 考生答題反饋

對(duì)于該題的第(1)小題,有的學(xué)生雖然解題成功但花時(shí)不少，有的學(xué)生甚至因公式錯(cuò)用，特殊三角函數(shù)值記錯(cuò)而造成遺憾；第(2)小題的破解有相當(dāng)?shù)膶W(xué)生因采用“合一變形”而不知兩角的和而無(wú)法適從,從而導(dǎo)致無(wú)法求解最大值，有的也是憑猜想才求得.當(dāng)然,該題有相當(dāng)多的學(xué)生是求解成功的．

3 巧妙解題方法

該題參考答案的方法運(yùn)用恰當(dāng)，是多數(shù)學(xué)生的求解方法.下面3種方法有的雖有雷同且略有巧妙，有的雖方法笨拙但也為出路，有的則逢山開(kāi)路、獨(dú)辟蹊徑．

解法2(化解歸一法)

(1)同解法1

點(diǎn)評(píng)此解法與標(biāo)準(zhǔn)答案雷同，也是通過(guò)化二角為一角的基本思路,不同的是化角為B，合一變形時(shí)采用了化為余弦值求解.但方法之間顯示出解題者對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)方法的嫻熟．

解法3(拆角轉(zhuǎn)化法)

(1)同解法1.

(2)sinA+sinB=

點(diǎn)評(píng)這一方法源自于大綱版的和差化積公式，課本上雖有提及但不作要求.若能參悟化角技巧和方法則不失為一智慧之舉.當(dāng)然,有的教師可能對(duì)學(xué)生進(jìn)行了補(bǔ)充和講解，使其得心應(yīng)手．

解法4(化角為邊法)

(1)同解法1.

不妨令t=sinA+sinB,則

即

ab=a2+b2-c2,

因此

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立，則

點(diǎn)評(píng)化角為邊法是考生在遇困境時(shí)的一種拼博.從方法的破解思路上可見(jiàn)解題者的勇氣和膽略，也可見(jiàn)解題者具有逢山開(kāi)路、遇水架橋的本領(lǐng)，更可見(jiàn)解題高手的智慧和策略．

4 教學(xué)思考啟示

對(duì)于第一大題的求解肯定是考生必爭(zhēng)之分，如何順利求解通過(guò)以上3個(gè)方面的總結(jié)可得“理解基礎(chǔ)知識(shí)”、“掌握基本方法”、“運(yùn)用解題策略”3個(gè)啟示．

(1)理解基礎(chǔ)知識(shí)．三角函數(shù)圖像和性質(zhì)、解三角形的有關(guān)知識(shí)是這一大題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)，涉及到的公式較多，既有三角恒等變換公式，也有正弦定理、余弦定理，更有“合一變形”、正弦定理面積公式、知角求值和知值求角等基本知識(shí)．因此理解好這些基礎(chǔ)知識(shí)，做到基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用時(shí)既可順用、逆用，甚至可變形用，這樣才能讓知識(shí)變活，使考生理解基礎(chǔ)知識(shí)，成為知識(shí)運(yùn)用的主人．

(2)掌握基本方法．該大題涉及到的方法眾多，既有公式直接求解法，也有合一變形化簡(jiǎn)法、數(shù)形結(jié)合法、分類(lèi)討論求解法、轉(zhuǎn)化化歸法等.在必要時(shí),還可結(jié)合基本不等式性質(zhì)、放縮法等技巧進(jìn)行破題．

(3)運(yùn)用解題策略．該大題在化解時(shí)若有一個(gè)全局策略，則可節(jié)省解題的時(shí)間且成功率提高.若第(1)小題結(jié)合公式形態(tài)采用公式逆用求角,第(2)小題采用化兩角為一角求最值，則思路清晰、解題方法得當(dāng)、成功率就高；反之若不采用較好的策略則易誤入歧途，沒(méi)有很好的解題實(shí)力就可能慘?。?/p>