題小意深 圖窮意顯
——2010年浙江省數(shù)學高考向量試題賞析及歷史回顧

● (昌碩高級中學 浙江安吉 313300)

從2004年浙江省自主命題以來，向量試題就呈現(xiàn)出鮮明的特點：具有極強的數(shù)學味和突出的幾何背景；既可以考查向量的代數(shù)運算，也能通過對幾何背景的透視，抓住向量本質(zhì)，簡化解題思路.但是在2009年的試題中卻沒能感受到這一點，正當我們以為向量的考查趨于平淡時，2010年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題橫空出世，讓我們再次感受到了向量問題的奇特魅力.

例1已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是________.

(2010年浙江省數(shù)學高考試題)

解法1設(shè)平面向量α,β的夾角為θ.由題意得

α·(β-α)=|α|·|β-α|cos120°.

因為

α·(β-α)=α·β-|α|2=

|α||β|cosθ-|α|2，

由|β|=1，得

|α|·|β-α|cos120°=|α|cosθ-|α|2,

所以

|β-α|=-2cosθ+2|α|，

即

|β-α|2=(-2cosθ+2|α|)2.

展開得

3|α|2-6|α|cosθ+4cos2θ-1=0，

解得

解法21=|β|2=β2=[α+(β-α)]2=

|α|2+|β-α|2-|α||β-α|，

即

|β-α|2-|α||β-α|+|α|2-1=0.

將|β-α|看成自變量，則

Δ=|α|2-4(|α|2-1)=-3|α|2+4≥0，

|α|2+|β-α|2-2|α|·|β-α|cos60°=|β|2=1.

以下同解法2.

即

解得

于是點B的軌跡方程為

且點O，B均在圓上，從而

點B在以線段OA為弦，半徑為R的圓上，因此

評析解法1利用向量數(shù)量積的2個公式進行恒等變換，構(gòu)造出|α|與平面向量α,β的夾角θ的方程，是學生容易想到的純代數(shù)方法，但其過程較繁，容易出錯；解法2將β-α看成整體利用恒等變換，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題處理，有一定的技巧性，總體上還是以代數(shù)的方法為主導；解法3和解法4將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，借助解三角形的方法來處理，有效地建立了向量與三角的聯(lián)系，體現(xiàn)出向量的“回路”本質(zhì)，也使問題變得清晰明了；解法5將向量問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，通過求動點軌跡的方法處理，溝通了向量與解析幾何的天然聯(lián)系；解法6充分利用了點的性質(zhì)，借助幾何條件將向量、三角、平面幾何有機地結(jié)合在一起.

再次回顧2004～2008年浙江省數(shù)學高考向量試題，可以發(fā)現(xiàn)其背后那一脈相承的幾何背景.

1 初露端倪

(2004年浙江省數(shù)學高考試題)

解由條件知,△ABC為直角三角形,且∠B=90°,因此

于是

評析向量加入高中數(shù)學的“大家庭”不久，以直角三角形為背景構(gòu)造的試題使向量的幾何意義初露端倪.

2 神來之筆

例3已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

(2005年浙江省數(shù)學高考試題)

解法1由|a-te|≥|a-e|,得

|a-te|2≥|a-e|2，

展開并整理得

t2-2a·et+2a·e-1≥0.

又由t∈R,得

Δ=(-2a·e)2+4-8a·e≥0，

即

e·(a-e)=0,

于是

a⊥(a-e).

故選C.

評析作為選擇題的壓軸題，解法1用代數(shù)方法借助函數(shù)思想解決;解法2卻妙在“圖畫完，題解好”，即“點到直線的距離是連結(jié)點與直線上的點的線段的長度的最小值”，堪稱“神來之筆”.

3 平中見奇

例4設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是________.

(2006年浙江省數(shù)學高考試題)

解法1由(a-b)⊥c,a⊥c,得

即

得

|c|2=(-a-b)2=2，

故

|a|2+|b|2+|c|2=4.

評析代數(shù)的運算需要技巧(解法1);根據(jù)幾何意義構(gòu)造正方形,則使問題迎刃而解(解法2).題雖平常，卻平中見奇.

4 妙趣橫生

例5若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則

( )

A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|

C.|2b|>|a+2b| D.|2b|>|a+2b|

(2007年浙江省數(shù)學高考試題)

解法1由|a+b|=|b|,得

(a+b)2=b2,

即

a2+2a·b=0.

從而

(2a)2-(2a+b)2=-4a·b-b2，

于是

(2b)2-(a+2b)2=-4a·b-a2=a2=

-a2<0,

即

|2b|>|a+2b|.

故選C.

解法2如圖1所示，構(gòu)造△OAC.由題意得

|OB|=|AB|=|BC|,

則△OAC為直角三角形，從而|OC|<|AC|.故選C.

評析此題在2007年影響深遠，很多學生感覺無處著手.解法1利用模的運算，用代數(shù)方法進行轉(zhuǎn)化，思路清晰，但運算較繁;解法2卻以構(gòu)造直角三角形為契機，關(guān)系簡單明了，將直角三角形的性質(zhì)發(fā)揮得淋漓盡致，妙趣橫生.

圖1

圖2

5 各顯神通

例6已知a,b是平面內(nèi)2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則c的最大值是

( )

解法1由a·b=0,得

(a-c)·(b-c)=c2-(a+b)·c=0,

即

c2=(a+b)·c.

于是

|c|2=|a+b|·|c|cos，

評析代數(shù)運算和幾何意義各有千秋，各顯神通.

數(shù)學課程標準強調(diào)“向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景”.向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然橋梁，它集數(shù)形于一身，兼具代數(shù)性和幾何性.在數(shù)學中，有2座溝通代數(shù)與幾何的橋梁：向量和坐標系.坐標系依賴于原點的選擇；向量的優(yōu)越性在于可以不依賴原點，空間中每一點的地位是平等的，因此它比坐標系更一般、更重要.一方面，通過向量的運算可以解決幾何中的問題.譬如2條直線是否垂直的問題就可以轉(zhuǎn)化為2個向量的數(shù)量積是否為0的問題，這就實現(xiàn)了利用代數(shù)方法來解決幾何問題.另一方面，對于代數(shù)問題，通過向量可以給予幾何的解釋.譬如2個向量的數(shù)量積為0,說明這2個向量所表示的直線是相互垂直的等等.向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義對于運用向量刻畫幾何對象是非常重要的.因此，在教學中應(yīng)注意揭示向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義，幫助學生將向量代數(shù)運算與它的幾何意義聯(lián)系起來，使學生能運用向量代數(shù)性質(zhì)更好地刻畫幾何對象，體會代數(shù)與幾何的聯(lián)系.例如：λa的幾何意義是與a平行的向量，也可以表示一點和一個方向向量a所確定的直線，2個不共線向量a與b的線性組合λa+μb表示a與b所確定的平面，這就把向量的線性運算與直線、平面聯(lián)系起來了；a·a的幾何意義就是a的長度的平方，這就把向量的數(shù)量積運算與向量的長度聯(lián)系起來，從而把向量的數(shù)量積運算與兩點間的距離公式聯(lián)系起來了；a·b=0的幾何意義是a與b垂直，這就把向量的數(shù)量積運算與向量的位置關(guān)系聯(lián)系起來，從而也就把向量的數(shù)量積運算與直線的位置關(guān)系以及點到直線的距離聯(lián)系起來了；設(shè)e是單位向量，則a·e表示a在單位向量e上的投影的長度，這就把向量的數(shù)量積運算與向量夾角的三角函數(shù)聯(lián)系起來了.

最后，以2010年浙江省數(shù)學高考理科試題第21題為例，來看看向量在解決解析幾何問題時的妙用.

(1)當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于點A,B，△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.