試題新穎開放 蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想
——2010年數(shù)學(xué)高考中有關(guān)三角函數(shù)試題的評(píng)析

● (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

在原教學(xué)大綱和新課程標(biāo)準(zhǔn)中，三角函數(shù)都屬于主干知識(shí)，是歷年高考的基本要點(diǎn)之一.新課程將向量作為工具推導(dǎo)兩角差的余弦公式，又將三角恒等變換獨(dú)立成章，意在培養(yǎng)推理和運(yùn)算能力，新課程刪減了余切、正割、余割和已知三角函數(shù)值求角以及反三角符號(hào)等內(nèi)容，也刪除了用積化和差、和差化積、半角公式作復(fù)雜的恒等變形，避免了三角問題解決中過份的技巧性訓(xùn)練.2010年高考三角試題繼續(xù)貫徹了新課程的上述要求.

1 命題特點(diǎn)和知識(shí)類型

1．1 三角化簡(jiǎn)或求值

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值是三角公式運(yùn)用的重要方面，高考時(shí)或用一個(gè)公式，或需要幾個(gè)三角公式的綜合運(yùn)用.

(2010年上海市數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析本題的解決需要綜合運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和余弦公式、誘導(dǎo)公式等.

原式=lg(sinx+cosx)+lg(sinx+cosx)-

lg(sinx+cosx)2=0.

1.2 求三角函數(shù)的性質(zhì)

通過三角恒等變形可將原三角函數(shù)化簡(jiǎn)為基本的正弦型y=Asin(ωx+φ)+k(或余弦、正切型)函數(shù)，然后求相關(guān)函數(shù)的性質(zhì).

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合.

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

最后得到函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合為

1.3 三角函數(shù)的圖像

三角函數(shù)圖像的考查一般涉及三角函數(shù)的圖像變換和周期等性質(zhì)特征.

( )

A．4 B．6 C．8 D．12

(2010年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

1.4 解三角形

三角形知識(shí)的考查或以正弦定理、余弦定理為工具，或綜合三角恒等變換解決與三角形有關(guān)的問題.

(1)求sinC的值；

(2)當(dāng)a=2,2sinA=sinC時(shí),求b及c的長(zhǎng)．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解答過程請(qǐng)參見本期第13頁(yè).

1.5 三角函數(shù)應(yīng)用

應(yīng)用三角函數(shù)特別是通過解三角形，可以解決測(cè)量等實(shí)際問題.

例5某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位m)，如圖1，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

圖1

(1)該小組已經(jīng)測(cè)得一組α，β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值；

(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位m)，使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度，若電視塔實(shí)際高度為125 m，問d為多少時(shí)，α-β最大.

(2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

又由AD-AB=DB，得

解得

2 考查亮點(diǎn)掃描

2.1 試題形式新穎

(2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

2.2 注重推理運(yùn)算

主要體現(xiàn)在以三角問題為背景的探索規(guī)律等試題，例如：

例7觀察下列等式：

①cos2a=2cos2a-1；

②cos4a=8cos4a-8cos2a+1;

③cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1;

小學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要階段，這一階段將直接影響到學(xué)生今后的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣及學(xué)習(xí)能力。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視學(xué)生的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和思考，幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)的信心，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感知學(xué)習(xí)的樂趣，不斷進(jìn)步，讓學(xué)生在鼓勵(lì)和激勵(lì)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，并使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、解決問題的能力能夠得以體現(xiàn)和運(yùn)用。

④cos8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1;

⑤cos10a=mcos10a-1 280cos8a+1 120cos6a+ncos4a+pcos2a-1.

可以推測(cè)，m-n+p=________．

(2010年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析因?yàn)?2=21,8=23,32=25,128=27,

所以

m=29=512；

觀察可得

n=-400，p=50，

于是

m-n+p=962.

本題通過三角變換、類比推理等考查了考生的推理能力等.

2.3 解題形式開放

三角開放題中同樣包含著問題解決的多種途徑，例如：

( )

A. B.

C. D.

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

2.4 蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想

解決三角函數(shù)與其他函數(shù)、方程或不等式交匯的問題時(shí)，需要數(shù)形轉(zhuǎn)換，或需要將函數(shù)與方程不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例如：

例9設(shè)函數(shù)f(x)=4sin(2x+1)-x，則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)的是

( )

A．[-4,-2] B．[-2，0]

C．[0，2] D．[2，4]

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析將f(x)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=4sin(2x+1)與h(x)=x的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知應(yīng)選A.本題是三角函數(shù)圖像的平移與函數(shù)、方程的知識(shí)交匯題，突出了對(duì)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查.

2.5 公式推導(dǎo)回歸教材

2010年的高考試題中出現(xiàn)了三角公式的證明和推導(dǎo)，例如：

例10(1)證明兩角和的余弦公式Cα+β∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

(2)由Sα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β∶sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

(2010年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題的考查源于教材，既有對(duì)兩角和余弦公式推導(dǎo)證明的要求(向量法等)，又有通過誘導(dǎo)公式等方式對(duì)兩角和、差余弦和正弦進(jìn)行轉(zhuǎn)換的要求.這樣的考查體現(xiàn)了新課程對(duì)三角變換的推理要求.

3 復(fù)習(xí)建議

3.1 梳理知識(shí),形成網(wǎng)絡(luò)

三角函數(shù)作為一類特殊函數(shù)同樣在定義基礎(chǔ)上研究其圖像和性質(zhì).一方面,諸多三角公式都有其適用針對(duì)性也有相互間的密切聯(lián)系;另一方面,三角公式是三角恒等變換的工具,通過綜合運(yùn)用可以將一般三角函數(shù)變形化歸為基本三角函數(shù)，從而求值、化簡(jiǎn)和研究其圖像和性質(zhì).選擇運(yùn)用三角公式要注意觀察角之間的關(guān)系，對(duì)一些公式還要會(huì)逆用和變形應(yīng)用，譬如兩角和差的正切公式、正余弦二倍角公式等的變形運(yùn)用.

3.2 把握整體,滲透思想

三角問題解決中注意運(yùn)用化歸思想.求三角函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間及判斷其奇偶性和求周期等，主要是通過恒等變形將一般三角函數(shù)化歸為基本三角函數(shù)類型.三角變形和轉(zhuǎn)換過程中要注意等價(jià)思想.運(yùn)用三角公式變形時(shí),不少公式左右范圍并不等價(jià)，而且這些條件往往是隱含的，又如運(yùn)用三角圖像或三角函數(shù)線研究性質(zhì)時(shí)，常有自變量范圍的限制，因此在問題解決過程中須注意前后的等價(jià).三角函數(shù)線和三角函數(shù)圖像是三角概念和性質(zhì)的直觀反映，它可以運(yùn)用于求三角最值和有關(guān)三角方程根、單調(diào)等性質(zhì)的研究，也可以運(yùn)用于比較大小或不等式問題，它是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn).

3.3 注重過程,提升能力

三角恒等變換是“只變其形不變其質(zhì)”的，變換的目的在于揭示那些形式不同但實(shí)質(zhì)相同的三角函數(shù)式的內(nèi)在聯(lián)系，通過基本公式的推導(dǎo)和簡(jiǎn)單應(yīng)用能夠培養(yǎng)推理和運(yùn)算能力；通過探求和(差)角公式、倍角公式，以及運(yùn)用這些公式推導(dǎo)和差化積、積化和差、半角公式等的過程，學(xué)生學(xué)習(xí)怎樣預(yù)測(cè)變換目標(biāo)、選擇變換、設(shè)計(jì)變換途徑等，從中學(xué)習(xí)運(yùn)算、推理的基本思想，提升學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力.