再談?wù){(diào)和四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用

●沈文選 (湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 湖南長沙 410081)

筆者在文獻(xiàn)［1］中介紹了調(diào)和四邊形的7條性質(zhì)及7道應(yīng)用的例題.在此，再介紹調(diào)和四邊形的一些有趣性質(zhì)及應(yīng)用的例子.

性質(zhì)8 圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是該四邊形4個(gè)頂點(diǎn)與不在其圓上一點(diǎn)的連線交圓于4點(diǎn)為一正方形4個(gè)頂點(diǎn).

圖1

證明如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P不在⊙O的圓周上，直線 PA，PB，PC，PD分別交⊙O 于點(diǎn) A'，B'，C'，D'.由割線或相交弦定理得

充分性 當(dāng)A'，B'，C'，D'為正方形的4個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，顯然AB·CD=BC·DA.

必要性 當(dāng)AB·CD=BC·DA時(shí)，由PA·PA'=PB·PB'=PC·PC'=PD·PD'=k，可視點(diǎn) A，B，C，D 的反演點(diǎn)為 A'，B'，C'，D'.由反演變換的性質(zhì)，可知 A'，B'，C'，D'在 AB·CD=BC·DA的條件下為一正方形的4個(gè)頂點(diǎn).

注由性質(zhì)8給出了作調(diào)和四邊形的又一種方法.在文獻(xiàn)［2］中，也有如下定義：如果一個(gè)四邊形的頂點(diǎn)是一個(gè)正方形頂點(diǎn)的反形，那么被稱為調(diào)和四邊形.

性質(zhì)9 圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是其一頂點(diǎn)對(duì)其余三頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的西姆松線段被截成相等的兩段.

證明如圖2，設(shè)ABCD為圓內(nèi)接四邊形，不失一般性.設(shè)點(diǎn)D在△ABC的3條邊BC，CA，AB上的射影分別為L，K，T，則LKT為點(diǎn)D的西姆松線段.此時(shí) L，D，K，C 及 D，A，T，K 分別四點(diǎn)共圓，且CD，AD分別為其直徑.設(shè)此圓的半徑為R，由正弦定理得

從而四邊形ABCD為調(diào)和四邊形.

圖3

圖2

性質(zhì)10 圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是一條對(duì)角線2個(gè)端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)(或無窮遠(yuǎn)點(diǎn))與兩對(duì)角線的交點(diǎn)調(diào)和分割另一條對(duì)角線.

證明當(dāng)圓內(nèi)接四邊形為箏形時(shí)，易證得結(jié)論，這留給讀者自行證明.下證非箏形時(shí)的情形.

如圖3，設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD的2條對(duì)角線相交于點(diǎn)Q，在A，C處的2條切線相交于點(diǎn)P.由△QCD∽△QBA，△QAD∽△QBC，得

充分性 如圖3，當(dāng)P，Q調(diào)和分割DB時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P，D，Q，B共線.由△PDC∽△PCB得

又由式(1)，(2)，(3)得

于是四邊形ABCD為調(diào)和四邊形.

必要性 如圖3，當(dāng)ABCD為調(diào)和四邊形時(shí)，由性質(zhì)1，知點(diǎn) P，D，Q，B 共線，且有式(3)成立.由AD·BC=AB·CD，得

再注意到式(1)與式(3)，得

于是點(diǎn)P，Q調(diào)和分割DB.

性質(zhì)11 圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是2條鄰邊之比等于此2條鄰邊所夾對(duì)角線分另一條對(duì)角線為2段對(duì)應(yīng)之比開平方.

證明如圖4，設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD的2條對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)Q.

當(dāng)圓內(nèi)接四邊形為箏形時(shí)，易證得結(jié)論，這也留給讀者自行證明.下證非箏形時(shí)的情形.

圖4

從而ABCD為調(diào)和四邊形.

必要性 當(dāng)ABCD為調(diào)和四邊形時(shí)，由性質(zhì)1，知點(diǎn)A，C處的切線與直線DB共點(diǎn)于P，如圖4.于是，注意到面積關(guān)系與正弦定理，得

注由性質(zhì)4知，在調(diào)和四邊形中，對(duì)角線的中點(diǎn)是其等角共軛點(diǎn).如圖4，設(shè)M為AC的中點(diǎn)，

性質(zhì)12 在調(diào)和四邊形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線 BD上，記 O，O1，O2分別為四邊形 ABCD，△BCP，△ABP的外接圓圓心，則直線BO平分線段O1O2.

證法1 如圖5，聯(lián)結(jié)BO1，BO2，OO1，OO2.設(shè) M 為AC的中點(diǎn)，則由調(diào)和四邊形的 性 質(zhì) 4，知 ∠ABP =∠CBM，即∠ABM=∠CBP.

設(shè)直線BO交O1O2于點(diǎn)Q，此時(shí)

圖5

注意到當(dāng)一個(gè)角的2條邊與另一角的2條邊對(duì)應(yīng)垂直時(shí)，這2個(gè)角相等或相補(bǔ)，得

于是，由正弦定理得

證法2 如圖5，設(shè)M為AC的中點(diǎn).由性質(zhì)4，知∠CBM=∠ABP，即∠CBD=∠ABM.又由∠BDC=∠BAM，得△DBC∽△ABM，從而

作△BCP，△ABP的外接圓，過點(diǎn)B作⊙O的切線分別交⊙O1，⊙O2于點(diǎn) E，F(xiàn)，連結(jié) CE.則由

而MA=CM，于是 BE=BF.作 O1E'⊥EB 于點(diǎn) E'，作 O2F'⊥BF 于點(diǎn) F'.由垂徑定理，知 E'，F(xiàn)'分別為EB，BF的中點(diǎn).在直角梯形O1E'F'O2中，BO即為其中位線所在的直線，故它一定平分線段O1O2.

下面給出一些應(yīng)用的例子.

例1 設(shè)ABCD是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，點(diǎn)P，Q和R分別是D到直線BC，CA和AB的射影，證明：PQ=QR的充要條件是∠ABC和∠ADC角平分線的交點(diǎn)在線段AC上.

(2003年第44屆IMO試題)

證明如圖6，由性質(zhì)9，知PQ=QR的充要條件是ABCD為調(diào)和四邊形.又由調(diào)和四邊形的性質(zhì)3，知∠ABC和∠ADC的角平分線的交點(diǎn)在線段AC上的充要條件是ABCD為調(diào)和四邊形.故PQ=QR的充要條件是∠ABC和∠ADC的角平分的交點(diǎn)在線段AC上.

例2 已知直線上的3個(gè)定點(diǎn)依次為A，B，C，Γ為過點(diǎn)A，C且圓心不在AC上的圓，分別過點(diǎn)A，C且與圓Γ相切的直線交于點(diǎn)P，PB與圓Γ交于點(diǎn)Q.證明：∠AQC的平分線與AC的交點(diǎn)不依賴于圓Γ的選取. (2004年第45屆IMO預(yù)選題)

圖6

圖7

圖8

證明如圖7，點(diǎn)Q可在劣弧上，也可在優(yōu)弧上.不失一般性，設(shè)點(diǎn)Q在劣弧上，直線PB與圓Γ的另一交點(diǎn)為Q'.由調(diào)和四邊形的性質(zhì)1，知AQ'CQ為調(diào)和四邊形.設(shè)∠AQC的平分線交AC于點(diǎn)T，則由角平分線的性質(zhì)，知.又由性質(zhì)11，在調(diào)和四邊形AQ'CQ中，有

故點(diǎn)T不依賴于圓Γ的選取.

例3 在銳角△ABC中，AB＞AC，M是邊BC的中點(diǎn)，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得∠MAB=∠PAC.設(shè)△ABC，△ABP，△ACP的外心分別為O，O1，O2，證明：直線 AO 平分線段 O1O2.

(2010年國家集訓(xùn)隊(duì)選拔賽試題)

故圓內(nèi)接四邊形ABDC為調(diào)和四邊形.于是由性質(zhì)12知直線AO平分線段O1O2.

注由性質(zhì)12，知例3的條件“P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)”，可改為“P是△ABC的外接圓內(nèi)一點(diǎn)”，即圖8中的線段AD上的點(diǎn)(異于端點(diǎn))均可.

例4 設(shè)銳角△ABC的外接圓為W，過點(diǎn)B，C作W的2條切線，相交于點(diǎn)P.連結(jié)AP交BC于點(diǎn)D，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 AC，AB 上，使得 DE∥BA，DF∥CA.

(1)求證：F，B，C，E 四點(diǎn)共圓;

(2)若記過點(diǎn) F，B，C，E 的圓的圓心為 A1，類似地定義 B1，C1，則直線 AA1，BB1，CC1共點(diǎn).

(2005年國家集訓(xùn)隊(duì)測試題)

證明(1)如圖9，欲證 F，B，C，E四點(diǎn)共圓，只需證

因此欲證式(7)，只需證

設(shè)AP交圓W于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ，QC.由調(diào)和四邊形性質(zhì)4，知ABQC為調(diào)和四邊形.由性質(zhì)11，知在調(diào)和四邊形ABQC中，式(8)顯然成立，故 F，B，C，E四點(diǎn)共圓.

圖9

圖10

由△AM1N1與△ABC位似，得

從而由第(1)小題知，F(xiàn)1，M1，N1，E1四點(diǎn)共圓.同理可得，F(xiàn)1，M1，S1，T1及 S1，T1，N1，E1分別四點(diǎn)共圓.于是

即 M1，S1，T1，N1，E1五點(diǎn)共圓.由對(duì)稱性，知點(diǎn) F1也在此圓上，即六點(diǎn)共圓.

設(shè)此六點(diǎn)圓的圓心為O.由于⊙OA1與⊙O的位似中心為A，因此直線AA1過點(diǎn)O.同理可得，直線BB1，CC1也過點(diǎn)O.

［1］ 沈文選.論調(diào)和四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用——兼談全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽2道加試題的解法［J］.中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2010(10)：35-39.

［2］ 沈文選.幾何瑰寶——平面幾何500名題暨1 000條定理［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.