一道錯(cuò)解題的3種正解

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(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 天津 300456)

問題設(shè)x,y是實(shí)數(shù),且x2-3xy+y2=1,求S=x2-xy+y2的取值范圍.

錯(cuò)解因?yàn)?/p>

S=x2-xy+y2=

-(x2-3xy+y2)+2(x2-2xy+y2)=

-1+2(x-y)2,

且由題設(shè)條件可知x≠y(否則與條件x2-3xy+y2=1矛盾！),所以S=x2-xy+y2無最小值,只有S>-1,即S∈(-1,+∞).

以上解題過程從表面上看似嚴(yán)謹(jǐn),但結(jié)果卻是錯(cuò)誤的！其實(shí)S不會(huì)等于0.因?yàn)橛蒘=0,可得x=y=0,這與題設(shè)條件x2-3xy+y2=1矛盾！因此S∈(-1,+∞)是錯(cuò)誤的,它含有增解S=0.

下面筆者給出以上問題的3種正確解法,供大家參考.

正解1因?yàn)?/p>

S=x2-xy+y2=

其實(shí),可以由待定系數(shù)法順利獲得.

令

S=k(x2-3xy+y2)+[(1-k)x2+

(3k-1)xy+(1-k)y2].

(1)

為了能將中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)配成一個(gè)完全平方項(xiàng),必須滿足以下2個(gè)條件:

(1)(1-k)(1-k)>0;

2|1-k|=|3k-1|,

解得

從而

正解2由

1=x2+y2-3xy≥±2xy-3xy,

可得

S=x2-xy+y2=x2-3xy+y2+2xy=

正解3

S=x2-xy+y2,x2-3xy+y2=1.

兩式相乘得

(x2-3xy+y2)S=x2-xy+y2,

整理得

(S-1)x2-(3S-1)xy+(S-1)y2=0.

(S-1)t2-(3S-1)t+(S-1)=0.

當(dāng)S-1=0時(shí),由上式可得t=0,顯然有解,故S=1可取.

當(dāng)S-1≠0時(shí),這時(shí)

Δ=(3S-1)2-4(S-1)2=(5S-3)(S+1)≥0，

解得

但將條件x2-3xy+y2=1代入S≤-1,可推出

x2+y2≤-2,

顯然無實(shí)數(shù)解,故知S≤-1為增解,應(yīng)舍去.