覆蓋空間中的龐開來對偶

李 彬，陳柏輝

(四川大學 數學學院，四川 成都 610064)

1 基礎知識介紹

1.1 龐開來對偶

設X為n維可定向光滑緊流形,存在同構Hp(X;R)?Hn-p(X;R),其中p∈Z,0≤p≤n.為方便起見，本文以下將采用Hp(X)，Hp(X)簡記X上帶R系數的上同調以及同調[1].

1.2 奇異同調與上同調的Pontrjagin對偶

1.3 同調群中Pontrjagin對偶與龐開來對偶的交換性

1.4 正則覆蓋定義

設X，Y為拓撲空間，稱f:Y→X為正則覆蓋映射，如果f為映上，并且?x∈X，存在包含x的一個連通開集U，使得f-1(U)中任意一連通單元在映射f下分別同胚于U[4].

1.5 覆蓋空間中的積分

設X，Y為n維可定向光滑緊流形，f:Y→X為正則覆蓋映射，映射度為m，α為X空間中任意p維閉鏈，w為X空間中p階微分形式，則[5]:

2 正則覆蓋空間中龐開來對偶的性質

設X，Y為n維可定向光滑緊流形，f∶Y→X為正則覆蓋映射，α為X空間中任意p維閉鏈，α∈Hp(X;R)，n-p維閉微分形式D(α)為其對應龐開來對偶，則f-1(α)與f*(D(α))為龐開來對偶.

設D(α1)，D(α2)，…，D(αk)為α1，α2，…，αk對應n-p維龐開來對偶形式，由龐開來對偶相關性質可知:

從而

上式可誘導映射Φ:wi→D(αi)，從而建立Hp(X)，Hn-p(X)之間的同構Hp(X)?Hn-p(X)

wi與D(αi)為龐開來對.

又由覆蓋映射的積分性質:

f*(Hp(Y))?f*(Hn-p(Y))

[1]J.R.曼克勒斯.代數拓撲基礎[M].謝孔彬,譯.北京:科學出版社,2006:473-480.

[2]蘇競存.流形的拓撲學[M].武漢:武漢大學出版社,2005:258-261.

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[5]Dubrovin,Fomenko,Novikov.Modern Geometry-Methods and Applications(part2)[M].Springer,1985：110-112.

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