談《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)

吳博峰

摘要教學(xué)目標(biāo)明確，知識(shí)內(nèi)容技巧性的展現(xiàn)，是良好教學(xué)效果不可或缺的兩個(gè)條件。本文提出“以人為本，以用為準(zhǔn)”教學(xué)理念，并通過(guò)概率論教學(xué)實(shí)例闡述本文觀點(diǎn)。

關(guān)鍵詞應(yīng)用 實(shí)踐 興趣 構(gòu)建 思維

筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)觀上應(yīng)堅(jiān)持以人為本的原則。以人為本的教學(xué)觀是將學(xué)生作為整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的核心，充分考慮學(xué)生的個(gè)性需求、情感接受、求知欲望以及對(duì)已有的知識(shí)的掌握情況等各方面因素，尊重教學(xué)規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律，以直接講授、情境啟發(fā)、實(shí)例分析等教學(xué)方法，將傳統(tǒng)板書教學(xué)、多媒體教學(xué)與實(shí)驗(yàn)探索求證相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和知識(shí)應(yīng)用能力，以最終達(dá)到促進(jìn)主體發(fā)展的教學(xué)目的。同時(shí)教師在教學(xué)內(nèi)容上堅(jiān)持以應(yīng)用為準(zhǔn)則，重視構(gòu)建理論知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)之間的橋梁，使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)從周圍熟悉的事件中學(xué)習(xí)和理解知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義，培養(yǎng)學(xué)以致用的能力。當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家、沃爾夫獎(jiǎng)獲得者H.惠特尼(Whitney,Hasselr)曾指出：“學(xué)數(shù)學(xué)意味著什么？當(dāng)然是希望能用它，……最好的學(xué)習(xí)就是用，并且古今皆知僅在你有自己的想法時(shí)才有真正的學(xué)習(xí)?！敝麛?shù)學(xué)教育家H.弗洛登塔爾(Freudenthel,Hans)指出：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，并且用于現(xiàn)實(shí)?！彼?，讀書的實(shí)質(zhì)是將人類已有的智慧結(jié)晶內(nèi)化為自身理解的同時(shí)物化于實(shí)踐中，因此，應(yīng)用是目的，也是學(xué)習(xí)的最根本動(dòng)力因素。

筆者多次執(zhí)教大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，就結(jié)合自身對(duì)這門課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)劚疚奶岢龅摹耙匀藶楸荆杂脼闇?zhǔn)”理念的心得體會(huì)。筆者認(rèn)為，書本的理論知識(shí)對(duì)學(xué)生而言是間接經(jīng)驗(yàn)，生活認(rèn)識(shí)才是直接經(jīng)驗(yàn)，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撝R(shí)與學(xué)生感性的生活認(rèn)識(shí)有著難以跨躍的鴻溝。因此，要上好這門課，首先應(yīng)以生活實(shí)例和學(xué)生熟悉的情境入手，建立數(shù)學(xué)模型，并借用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)和分析方法去理性地認(rèn)識(shí)生活，縮短學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中理論知識(shí)與客觀實(shí)踐的距離，消除學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的陌生感。所以概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)要以一定的感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)。只有在這個(gè)基礎(chǔ)上，學(xué)生才能比較容易地將來(lái)自書本的間接經(jīng)驗(yàn)與生活中的直接經(jīng)驗(yàn)連接貫通，接受、認(rèn)可教師的課堂講授。筆者在教材內(nèi)容講解中特別注意以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

一、介紹新的知識(shí)理論時(shí)，追本求源，讓學(xué)生了解和感受知識(shí)的原始創(chuàng)新

課程內(nèi)容要能引起學(xué)生的興趣,要能引人入勝,首先教師要對(duì)這門學(xué)科的發(fā)生和發(fā)展的來(lái)龍去脈及其對(duì)人類社會(huì)的功用與影響有著深刻的了解，然后再組織好教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)其基本線索、概念、原理、規(guī)律及其獨(dú)特的研究方法。筆者上《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程時(shí)，結(jié)合自己的理解，以故事的形式講述概率論起源于法國(guó)中世紀(jì)的一場(chǎng)賭博糾紛的歷史，吸引學(xué)生的興趣，然后提出不同立場(chǎng)的各種意見，鼓勵(lì)學(xué)生思考辨明，引導(dǎo)學(xué)生分析問題的實(shí)質(zhì)，最終確定最合理的方案。當(dāng)時(shí)中世紀(jì)的幾個(gè)數(shù)學(xué)家，帕斯卡、費(fèi)馬、惠更斯等人就是在這個(gè)問題上達(dá)成了這個(gè)共識(shí)，由惠更斯發(fā)表了第一篇完整的概率論著作《論機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算》，由此開始了將隨機(jī)性問題作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摽茖W(xué)而加以研究的學(xué)習(xí)領(lǐng)域, 最終現(xiàn)在，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》已經(jīng)作為一門完整的學(xué)科并廣泛應(yīng)用在生活、生產(chǎn)的各個(gè)方面。以問題再現(xiàn)的方式，讓學(xué)生感受真實(shí)情境的困擾，體驗(yàn)前人的原始創(chuàng)新，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，這樣一來(lái)學(xué)生就不會(huì)再把概率當(dāng)作突如其來(lái)的“空降”知識(shí)，而是將它理解成為我們探索、解決各種問題的科學(xué)工具，在學(xué)習(xí)過(guò)程中摒棄死記硬背，樹立研究精神，端正學(xué)習(xí)態(tài)度。

二、對(duì)概念、公式、定理的講解配合通俗舉例，讓學(xué)生發(fā)自內(nèi)心接受

概念、定義，是學(xué)習(xí)新知識(shí)的第一道門檻。數(shù)學(xué)中的概念、定義都是在理論和實(shí)踐的千錘百煉中形成的，通常比較簡(jiǎn)練和抽象，它對(duì)應(yīng)著生活中的某種成熟認(rèn)識(shí)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)概念、定義產(chǎn)生的可能性和必要性，感受其產(chǎn)生給思考和解決問題帶來(lái)的思維上的方便和清晰，然后適時(shí)將概念的內(nèi)容加以應(yīng)用，通過(guò)通俗易懂的例子讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它抽象外表下的簡(jiǎn)單實(shí)用。以條件概率為例，學(xué)生常覺得困惑，條件概率和普通概率有什么區(qū)別？其實(shí)條件概率表示的是范圍被約束的一類事件的概率，比如“甲廠的合格率”、“患肺癌的人中吸煙的概率”“擔(dān)任班委中男生的比例”等都屬于受到范圍被約束的概率，“產(chǎn)品的合格率”、“男生的比例”等屬于普通概率。引入條件概率的定義就可以很清楚地區(qū)分兩者的差別，使問題的解決顯得更便捷。如此一來(lái)，學(xué)生就明白了概念、定義都是用于解釋描述直接或間接認(rèn)識(shí)到的現(xiàn)象時(shí)所作出的智力構(gòu)建，它的實(shí)際用途是很明顯的。這樣，學(xué)生就能比較容易被概念的魅力所吸引，從而認(rèn)可并嘗試熟悉應(yīng)用它。

三、講解課堂例題時(shí)，拓展外延

數(shù)學(xué)的例題、練習(xí)非常多，但題目都是針對(duì)定義、定理、公式等展開的驗(yàn)證或解釋，做題的目的就是培養(yǎng)熟練計(jì)算以及理解運(yùn)用的能力。有一部分習(xí)題是純粹的復(fù)雜計(jì)算、邏輯推導(dǎo)，顯得很單調(diào)、枯燥，學(xué)生通常也很排斥厭倦，教師有時(shí)候可以根據(jù)習(xí)題內(nèi)容適當(dāng)?shù)貥?gòu)建一些意境，讓學(xué)生明白解決實(shí)際問題除了需要靈活的思維能力還必須具備扎實(shí)的計(jì)算基礎(chǔ)。比如一道很普通的二維隨機(jī)變量均勻分布類型的題目：隨機(jī)變量X、Y服從[0，60]均勻分布，求P(X+10≤Y≤X+15) ,運(yùn)用二重積分即可計(jì)算出，但引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生時(shí)不妨引申個(gè)生活假設(shè)：甲、乙兩人約下午一點(diǎn)鐘到兩點(diǎn)鐘間會(huì)面，甲先到等乙10分鐘，乙先到等甲15分鐘，他們?cè)谝稽c(diǎn)到兩點(diǎn)的任何時(shí)刻都可能出現(xiàn)，問他們能夠會(huì)面的概率。學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)很容易理解這種生活情境，面對(duì)這樣的問題就會(huì)積極進(jìn)行思考，這時(shí)教師再逐步啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用隨機(jī)變量來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，確定變量間的關(guān)系表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)計(jì)算方法得出結(jié)論，大部分學(xué)生就不會(huì)覺得純數(shù)學(xué)計(jì)算解題的枯燥生澀，同時(shí)激發(fā)起對(duì)知識(shí)內(nèi)容和計(jì)算方法的求知欲望，而尖子生們也能夠感受到從理論指導(dǎo)到實(shí)踐應(yīng)用的途徑和技巧，對(duì)于他們創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)也有幫助。這種簡(jiǎn)單的聯(lián)系教學(xué)，在筆者看來(lái)很有意義。學(xué)習(xí)一門自然科學(xué)，它的意義并非在于一定要能解決很大的問題，而在于能將這門科學(xué)的思維、理念融入自身的認(rèn)知系統(tǒng)，有所感悟，有所觸進(jìn)。數(shù)學(xué)應(yīng)該成為所有學(xué)習(xí)者能用來(lái)解釋生活現(xiàn)象、解決社會(huì)問題的理性科學(xué)，所以教師在講解例題時(shí)，應(yīng)盡可能地聯(lián)系生活實(shí)際，盡可能地選擇簡(jiǎn)單易懂的日常事例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到社會(huì)生活本質(zhì)抽象出來(lái)就是數(shù)學(xué)的問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法能清晰有效地認(rèn)識(shí)社會(huì)現(xiàn)象，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的。

四、注重思維方法傳授，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生擁有自學(xué)的能力和興趣，不僅只是把知識(shí)灌輸給學(xué)生，而是要教會(huì)他們用這種思想方法去分析、解決具體的實(shí)際問題。例如在講到隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時(shí)，這是一個(gè)很抽象的概念，它的理論意義表示隨機(jī)變量的概率平均值，但如果將其用來(lái)分析生活生產(chǎn)實(shí)踐，將會(huì)發(fā)現(xiàn)它的用途與我們的聯(lián)系非常的緊密。筆者曾將其設(shè)計(jì)為一個(gè)項(xiàng)目投資的數(shù)學(xué)模型。項(xiàng)目是否值得投資，關(guān)鍵是考察其回報(bào)，但回報(bào)是發(fā)生在投資進(jìn)行之后的結(jié)果，因此在投資之前，考察這個(gè)回報(bào)時(shí)只能稱作預(yù)期回報(bào)。理性的人們總是希望相同數(shù)量的投資能獲得最大的預(yù)期回報(bào)，而這個(gè)預(yù)期回報(bào)實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)期望，它等于這個(gè)項(xiàng)目投資的各種可能的獲利結(jié)果的概率平均值。運(yùn)用這一知識(shí)理論，同學(xué)們就可以判斷一個(gè)項(xiàng)目是否值得投資或者在幾個(gè)投資項(xiàng)目中確定最有利的選擇，拿生活中一個(gè)很常見的投資行為----購(gòu)買體育彩票“36選7”是否選擇復(fù)式投注為例說(shuō)明。按游戲規(guī)則，16元可以購(gòu)買7注單式彩票（7個(gè)號(hào)碼）或者1注復(fù)式彩票（8個(gè)號(hào)碼），假設(shè)特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)......六等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金金額是固定的，將投資16元所能得到的回報(bào)看作隨機(jī)變量X，我們只要計(jì)算這兩種購(gòu)買方式的各種結(jié)果的概率，則它的期望回報(bào)E(X)就可以按數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式確定。當(dāng)然，事實(shí)上特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)等獎(jiǎng)金金額是浮動(dòng)的，因此學(xué)生們需要從體彩站、網(wǎng)絡(luò)等渠道獲取信息，用點(diǎn)估計(jì)的方法求解出這兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)金金額的一個(gè)估計(jì)量，從而比較兩種投資方式的期望回報(bào)，選擇理性的投資方式?？陀^真實(shí)、意義積極、難度適中的課題設(shè)計(jì)可以培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察能力和系統(tǒng)分析能力，對(duì)信息收集分析能力，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望以及運(yùn)用理論指導(dǎo)實(shí)踐的創(chuàng)新思維。

以上幾點(diǎn)是筆者在確立 “以人為本、以用為準(zhǔn)” 為自身教學(xué)理念時(shí)的嘗試，以應(yīng)用為準(zhǔn)則側(cè)重對(duì)具體知識(shí)教學(xué)的理解，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與熱情，是學(xué)生能夠自主學(xué)習(xí)自我完善的前提；以人為本側(cè)重教學(xué)教法，通過(guò)以知識(shí)為載體的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、實(shí)踐操作能力、創(chuàng)新能力，在學(xué)習(xí)中形象良好性格、優(yōu)良品德。筆者仍然在這理念下不斷探尋師與生的溝通、教與學(xué)的銜接、知識(shí)與實(shí)踐的融合，希望能為高校教育提供一個(gè)比較優(yōu)的教學(xué)模式。

參考文獻(xiàn)（略）