怎樣確定一次函數(shù)表達式

林偉杰

一次函數(shù)表達式y(tǒng) ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）中有兩個待定參數(shù)k和b，確定了它們就確定了一個一次函數(shù)表達式，故一般需要兩個獨立的條件才能確定一次函數(shù)表達式．現(xiàn)舉例說明確定一次函數(shù)表達式的方法，供同學們參考．

一、利用代入點坐標法確定一次函數(shù)表達式

例1已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，5）和（3，9）兩點，求此一次函數(shù)的表達式．

分析：先設其表達式為 y ＝ kx ＋ b，然后將已知的兩點坐標代入，得關于k和b的方程組，解此方程組求出 k和b 后再代回即可．

解：設所求表達式為 y ＝ kx ＋ b，依題意，得5 ＝ k ＋ b，

9 ＝ 3k ＋ b．兩式相減得4 ＝ 2k，故k ＝ 2．將 k ＝ 2 代入方程組，得b ＝ 3．故所求表達式是 y ＝ 2x ＋ 3．

點評：函數(shù)圖象上每一點的橫坐標和縱坐標都是此函數(shù)中自變量與函數(shù)的一對兒對應值，據(jù)此可建立方程（組）確定一次函數(shù)表達式．

二、根據(jù)直線間的位置關系確定一次函數(shù)表達式

例2某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，1），且與直線 y ＝ － 2x ＋ 3相交于 y軸上的一點，求此一次函數(shù)的表達式．

分析：因直線 y ＝ － 2x ＋ 3與 y 軸的交點是（0，3），故可設所求函數(shù)表達式為 y ＝ kx ＋ 3，代入點（2，1）可求出 k，進而可得表達式．

解：因直線y ＝ － 2x ＋ 3交y軸于點（0，3），故所求一次函數(shù)的圖象也與 y 軸相交于點（0，3）．所以設其表達式為 y ＝ kx ＋ 3，將點（2，1）代入，得 1 ＝ 2k ＋ 3，故 k ＝ － 1．所以所求表達式為 y ＝ － x ＋ 3．

點評：由已知條件得出圖象與 y 軸的交點坐標，進而正確設出所求表達式是解本題的關鍵．

三、根據(jù)圖象信息確定一次函數(shù)表達式

例3長途汽車客運公司規(guī)定，旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李，若超過規(guī)定的質(zhì)量，則要購買行李票．行李費用 y（元）是行李質(zhì)量 x（kg）的一次函數(shù)，其圖象如圖1．試求出 y 與 x 之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x 的取值范圍．

分析：由圖象可知，函數(shù)圖象過（60，6）和（80，10）兩點，據(jù)此可求出 y與 x之間的函數(shù)關系式．

解：設函數(shù)關系式為 y ＝ kx ＋ b，由圖象可知，點（60，6）和點（80，10）在圖象上，則有6 ＝ 60k ＋ b，①

10 ＝ 80k ＋ b． ②

② － ①，得4 ＝ 20k，所以k ＝ ．將k ＝ 代入式①，得b ＝ － 6．

故函數(shù)關系式為y ＝ x － 6．令y ＝ 0，求得x ＝ 30．故自變量 x 的取值范圍是 x ≥ 30．

點評：解決本題的關鍵是讀懂題意．此外，要注意解決實際問題時自變量取值范圍的確定方法：（1）使表達式有意義；（2）符合實際問題的需要．

四、根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定其表達式

例4一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b的自變量的取值范圍是 － 3 ≤ x ≤ 6，相應函數(shù)值的取值范圍是 －5 ≤ y ≤ － 2，求此一次函數(shù)的表達式．

分析：對一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b，若 y 隨 x 的增大而增大，則由題意知其圖象過點（－ 3，－ 5）和點（6，－ 2），由此可求其表達式；若 y 隨 x 的增大而減小，則由題意知其圖象過點（－ 3，－ 2）和點（6，－ 5），由此可求其表達式．故本題應分類討論．

解：（1）當 y 隨 x 的增大而增大時，由題意知，函數(shù)圖象過點（－ 3，－ 5）和點（6，－ 2），由此可求得表達式是 y ＝ x － 4（－3 ≤ x ≤ 6）；（2）當 y 隨x的增大而減小時，由題意知，函數(shù)圖象過點（－ 3，－ 2）和點（6，－ 5），由此可求得表達式是 y ＝ － x － 3 （－ 3 ≤ x ≤ 6）．

點評：題設只給出了一次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的取值范圍．在這種情況下應根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)來求其表達式，否則容易造成漏解.L