坐標(biāo)系中的規(guī)律探索

房延華

探索型問題有助于我們在分析、推理、探索中提高數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力．下面以2007年的幾道中考題為例，講解一下與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的探索型題目．

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)），其順序按圖中“→”方向排列，即（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…根據(jù)這個規(guī)律探索，可得第100個點的坐標(biāo)為 ．

解析：觀察圖1中點的坐標(biāo)的排列規(guī)律可知，當(dāng)點的橫坐標(biāo)為偶數(shù)時，其排列順序是按縱坐標(biāo)由小到大的順序排列；當(dāng)點的橫坐標(biāo)為奇數(shù)時，其排列順序是按縱坐標(biāo)由大到小的順序排列．再觀察每一縱列，橫坐標(biāo)為1的點有1個，橫坐標(biāo)為2的點有2個，橫坐標(biāo)為3的點有3個，…，橫坐標(biāo)為n的點有n個．

因1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 13 ＝ 91 ＜ 100 ＜ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 14 ＝ 105，故第100個點的橫坐標(biāo)應(yīng)為14，而其縱坐標(biāo)應(yīng)為8，即第100個點的坐標(biāo)為（14，8）．

點評：解本題的關(guān)鍵，是從圖形中找出關(guān)于點的排列順序和每列點的個數(shù)的規(guī)律．

例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P0的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP0繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 45°，再將其長度伸長為原來的2倍，得到線段OP1；再將線段OP1繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2．如此下去，得到線段OP3，OP4，…，OPn（n為正整數(shù)）．

（1） 求點P6的坐標(biāo)．

（2） 我們規(guī)定：把點Pn（xn，yn）（n ＝ 0，1，2，3，…）的橫坐標(biāo)xn，縱坐標(biāo)yn都取絕對值后得到的新坐標(biāo)（xn，yn）稱為點Pn的“絕對坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點Pn的分布規(guī)律，請你猜想點Pn的“絕對坐標(biāo)”，并寫出來．

解析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點P6落在y軸的負(fù)半軸，而點Pn到坐標(biāo)原點的距離始終等于Pn－1點到原點距離的2倍，故P6的坐標(biāo)為（0，－ 26），即P6（0，－ 64）．

（2）由題意知，OP0旋轉(zhuǎn)8次后回到x軸正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點Pn分別落在象限的角平分線上或x軸、y軸上，但各點“絕對坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點Pn可分為三類情況：

①當(dāng)n ＝ 8k或n ＝ 8k ＋ 4時（其中k為自然數(shù)），點Pn落在x軸上，此時，點Pn的絕對坐標(biāo)為（2n，0）．

②當(dāng)n ＝ 8k ＋ 1或n ＝ 8k ＋ 3或n ＝ 8k ＋ 5或n ＝ 8k ＋ 7時（其中k為自然數(shù)），點Pn落在象限的角平分線上，此時，點Pn的絕對坐標(biāo)為

·2n，

·2n，即（2n － 1，2n － 1）．

③當(dāng)n ＝ 8k ＋ 2或n ＝ 8k ＋ 6時（其中k為自然數(shù)），點Pn落在y軸上，此時，點Pn的絕對坐標(biāo)為（0，2n）．

點評：本題尋找Pn點坐標(biāo)規(guī)律時，要充分利用兩個條件：①OPn長度為OPn － 1長度的2倍；②旋轉(zhuǎn)角為45°．所以在做題時，首先要從題目中提煉有用的信息，這樣再做題就容易多了．

例3實驗與探究．

（1）在圖3、圖4、圖5中，?ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)已給出．圖 3、圖4、圖5中的頂點C的坐標(biāo)分別是，，．

（2）在圖6中，?ABCD的頂點A，B，D的坐標(biāo)已給出，求頂點C的坐標(biāo)（用含a、b、c、d、e、f的代數(shù)式表示）．

（3） 通過對圖3～圖6的觀察和頂點C的坐標(biāo)的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論?ABCD處于平面直角坐標(biāo)系中哪個位置，4個頂點的坐標(biāo)之間都存在著某個不變的關(guān)系．如圖6，當(dāng)?ABCD的頂點坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）時，4個頂點的橫坐標(biāo)a、c、m、e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)b、d、n、f之間的等量關(guān)系為．（不必證明）

解析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求出圖3、圖4、圖5中的頂點C的坐標(biāo)分別是（5，2），（e ＋ c，d），（c ＋ e － a，d）．

（2）如圖7，分別過點A、B、C、D作x軸的垂線，垂足分別為A1、B1、C1、D1．分別過A、D作AE⊥BB1于點E，DF⊥CC1于點F．在?ABCD中，CD ＝ BA，又因為BB1∥CC1，所以∠EBA ＝ ∠FCD．

因為∠BEA ＝ ∠CFD ＝ 90°，所以△BEA ≌ △CFD．

所以AE ＝ DF ＝ a － c，BE ＝ CF ＝ d － b．

設(shè)C點的坐標(biāo)為（m，n）．由e － m ＝ a － c，得m ＝ e ＋ c － a．由n － f ＝ d － b，得 n ＝ f ＋ d － b．所以C點的坐標(biāo)為（e ＋ c － a， f ＋ d － b）．

（3）由（1）、（2）易得4點坐標(biāo)之間的關(guān)系為m ＋ a ＝ c ＋ e，n ＋ b ＝ d ＋ f，或表示為 m ＝ c ＋ e － a，n ＝ d ＋ f － b．Y