共邊定理

張景中等

有些題目看似簡單，但仔細想想，卻會有新的發(fā)現(xiàn).

圖1中有△PAB和△QAB，問：△PAB與△QAB的面積之比是多少？

這個問題不難解答.因為三角形面積等于底和高之積的一半，顯然△PAB和△QAB共底，要求面積之比，只需求兩三角形的高之比.作出兩三角形的高PD、QE（如圖2），可得 = .那么，我們要做的工作就是作兩個高，測量兩次，作一次計算，這個問題就解決了.

有沒有更簡單一點的辦法呢？因為作高比較麻煩.如果只是尺子一擺，順手作出，那么就可能出現(xiàn)較大的誤差.可不可以避免作高呢？辦法也是有的.可以延長PQ、AB（如圖3），使之相交于點M，則有 = .這是為什么呢？

學過相似三角形的讀者很快就會發(fā)現(xiàn)△PDM ∽△QEM，因而有 = .那么，沒有學過相似三角形的讀者能否明白其中的道理呢？辦法仍然是有的.在直線AB上取點N（如圖4），使得MN = AB，于是 == .這里用到了“同高三角形的面積之比等于底之比”.因為我們把PM看成△PNM的底，把QM看成△QNM的底，那么△PNM和△QNM就成了同高三角形.

回顧我們思考的過程，從中可以獲得一些有益的啟示：

第一，不要放過那些表面上看似尋常的問題，它們的背后也許還有很多你沒弄明白的東西.

第二，找到一種解決方法的時候，不妨再想想，有沒有更簡單、更高明的方法.

第三，更簡單、更高明的方法也許要用到更多的數(shù)學知識.不妨進一步想想，能否用更少的、更基本的知識來說明它.

問題并沒有結(jié)束，我們還可以舉一反三.圖1中畫出的兩個三角形有一條公共邊AB.但是，有公共邊的兩個三角形情形是多種多樣的，它們的位置并不一定像圖1那樣.下面我們給出一個定理.

共邊定理若直線AB和PQ相交于點M（如圖5，有4種情形），則有 = .

可能有讀者會認為，既然有4種情形，就應(yīng)該分情況進行討論了，那多麻煩?。∑鋵嵅槐鼐o張，證明過程和我們前面的推理完全一樣，照搬就可以了.

證明：在直線AB上取一點N，使得MN = AB，則△PMN與△QMN共高（分別以PM、QM為底），則有 == .

從本質(zhì)上講，共邊定理是“等底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)的推論.它的用途相當廣泛，下面舉幾個例子.

例1如圖6，在△ABC中，D、E分別為AC、AB邊中點，CE與BD交于點F.求證：CF = 2FE.

證明： === 2. 故CF = 2FE.

本題相當于圖5（1）中的情形.點F實質(zhì)上是△ABC的重心.

例2如圖7，在△ABC內(nèi)任取點G，連接AG、BG、CG，分別交BC、CA、AB于點D、E、F.求證：

++= 1.

證明： ++=++== 1.（可參照圖5（2））

例3如圖8，在△ABC中，點D、E分別在邊BC和AC上，且BD = BC，CE = CA，AD、BE交于點R，求和.

解：由共邊定理， === ，故 = ；=== 1，故 = .

例4（第15屆“五羊杯”九年級數(shù)學競賽試題）如圖9，△ABC中，BP ∶ PQ ∶ QC = 1 ∶ 2 ∶ 1，CG ∶ AG = 1 ∶ 2，求BE ∶ EF ∶ FG.

解：設(shè)S△ABC = 1，則S△ABP = ，S△AGP = S△APC = · = ，S△ABQ = ，S△AGQ = S△AQC = · = ， == ， == ，故BE = BG，F(xiàn)G = BG，EF = 1 -- BG = BG.BE ∶ EF ∶ FG= 11 ∶ 16 ∶ 6.

例5如圖10 ，過△ABC的頂點B的兩條直線BG、BH與BC邊上的中線AD交于點E、F，且AE ∶ EF ∶ FD = 4 ∶ 3 ∶ 1，求S△BAG ∶ S△BGH ∶ S△BHC.

解： == · = ； == · = .從而S△BAG = S△ABC，S△BHC = S△ABC，S△BGH = 1 -- S△ABC = S△ABC.

故S△BAG ∶ S△BGH ∶ S△BHC = 3 ∶ 4 ∶ 2.

一個定理的用途越多，越說明這個定理重要.從上面幾個例題來看，共邊定理的作用確實不小.掌握好這一有用的工具后，甚至一些給九年級學生做的奧賽題，七年級、八年級的學生就能很好地解決.以后我們會對共邊定理作進一步的探討.Y