一道“費爾馬點”姊妹題的探究

費爾馬點——就是在三角形內或邊界上到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.

其結論是：若三角形頂角不超過120°，則“費爾馬點”就是對各邊的張角都是120°的點.若三角形一個頂角等于或大于120°，則“費爾馬點”就是最大的內角的頂點.

下面給出一道“費爾馬點”的姊妹題：

是非明點——就是在三角形內或邊界上到三角形三邊距離之和最小(大）的點.

對“是非明點”的求解，現(xiàn)作如下探究：

不失一般性，假設A、B均為銳角，AB=c，以A點為原點，直線AB為x軸，建立平面直角坐標系，如圖1所示.設P(x,y)為△ABC內或邊界上的一動點.

由圖象2可以看出，在斜率為0的平行直線族中，當經(jīng)過頂點C點時，U取得最小值，當與線段AB重合時，U取得最大值.

其幾何意義為：當△ABC是頂角大于底角的等腰三角形時，使U取得最小值的“是非明點”P是三角形頂角的頂點；使U取得最大值的“是非明點”P是三角形底邊上的任意點.

(3）若A=B>C,即△ABC為頂角小于底角的等腰三角形時，此時A=B>π3,因此-(2cosB-1)>0.U(x,y)=-(2cosB-1)·y+c·sinB

由圖象3可以看出，在斜率為0的平行直線族中，當經(jīng)過頂點C點時U取得最大值，當與線段AB重合時U取得最小值.

其幾何意義為：當△ABC是頂角小于底角的等腰三角形時，使U取得最小值的“是非明點”P是三角形底邊上的任意點；使U取得最大值的“是非明點”P是三角形頂角的頂點.

下面再對A≠B時分兩類情況討論求解：

由圖象5可以看出，在斜率為k璘的平行直線族中，當經(jīng)過可行域上的點C時，U取得最小值；當經(jīng)過可行域上的點B時，U取得最大值.

其幾何意義為：當△ABC是銳角三角形時，使U取得最小值的“是非明點”P是△ABC的最大角的頂點；使U取得最大值的“是非明點”P是△ABC的最小角的頂點.

綜上所述，有關“是非明點”的結論是：

若△ABC是正三角形，則到三角形三邊距離和最小(大）的“是非明點”是此三角形內及邊界上的所有的點.

若△ABC是頂角大于底角的等腰三角形，則到三角形三邊距離和最小的“是非明點”是頂角的頂點，到三角形三邊距離和最大的“是非明點”是底邊上的任意點；若△ABC是頂角小于底角的等腰三角形，則到三角形三邊距離和最小的“是非明點”是底邊上的任意點，到三角形三邊距離和最大的“是非明點”是頂角的頂點.

若△ABC不是等腰三角形，則到三角形三邊距離和最小的“是非明點”是三角形最大角的頂點；到三角形三邊距離和最大的“是非明點”是三角形最小角的頂點.

簡而言之，到三角形三邊距離之和的最大值是過三角形最小角頂點的高；到三角形三邊距離之和的最小值是過三角形最大角頂點的高.

另外，有關“費爾馬點”、“是非明點”，還有幾個問題請教讀者：

①求在三角形內或邊界上到三角形的三個頂點的距離之和最大的點？

②求在三角形外到三角形的三個頂點的距離之和最小的點？

③求在三角形外到三角形的三邊的距離之和最小的點？

參考文獻

[1] 高近.“費爾馬點”介紹[J]《科學大眾》,2000年第4期.

作者簡介 斯飛鳴，1964年出生，1984年浙江師范大學數(shù)學專業(yè)畢業(yè)，2002年參加浙江師范大學研究生課程進修班學習，中學高級教師.現(xiàn)任東陽市中天高級中學副校長.任班主任20年，是“金華市千名優(yōu)秀班主任培養(yǎng)工程”第一批培養(yǎng)人選,東陽市“十佳優(yōu)秀班主任”.有多篇論文發(fā)表或獲獎.

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