高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)教材某些符號(hào)、提法應(yīng)該規(guī)范統(tǒng)一

胡晉賓　劉洪璐

新課標(biāo)教材的實(shí)驗(yàn)使得教材的多元化成為現(xiàn)實(shí)，這使得特色鮮明、風(fēng)格迥異的不同版本教材爭相斗艷，百花齊放.但是，教材中某些符號(hào)和提法不統(tǒng)一、不規(guī)范問題也因?yàn)楸姸嘣驍[在了大家的面前，它給日常的教學(xué)、考試、傳播和交流帶來了一定程度的紊亂.下面，我們以高中數(shù)學(xué)教材中的若干符號(hào)、提法為例來說明這一問題，希望引起大家的重視.

1 子集

上個(gè)世紀(jì)的教材中，子集用()表示，真子集用()表示.后來，教材使用()表示子集，而用()表示真子集.按現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)，符號(hào)梁酮(或隆ⅹ)均表示子集，而真子集用符號(hào)袒顥捅硎.有的新課標(biāo)教材規(guī)定子集用簾硎荊但是在后面習(xí)題里卻又出現(xiàn)符號(hào).這會(huì)造成一定的符號(hào)混亂，使得學(xué)生茫然不知所措.

2 取整

在代數(shù)里，中括號(hào)表示取整函數(shù)，文[1]指出，有的教材就有語句“函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)”，這與同一本書里面的另外一題“設(shè)函數(shù)f(x)=-x²-3x-2，(1)若g(x)=2-[f(x)]2，求g(x)的解析式……”發(fā)生混淆，所以g(x)=2-[f(x)]2最好改為g(x)=2-f2(x)，以免誤會(huì).

3 數(shù)集

文[2]指出，對(duì)自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C來說，它們排除元素0以后的數(shù)集，用相應(yīng)符號(hào)右側(cè)加上標(biāo)“*”或者下標(biāo)“十”來表示.例如，N*和N+都是表示除0以外的自然數(shù)集(0是最小的自然數(shù))，即正整數(shù)集.但是這被人們想當(dāng)然地嫁接到了實(shí)數(shù)集及其他數(shù)集上面，以為正實(shí)數(shù)集就是R*或R+．等(尤其是R+帶有正號(hào)而具有一定的“欺騙性”)，并在一些教材和雜志中大量出現(xiàn).實(shí)際上R*或R+均表示非零實(shí)數(shù)集.我們可以用文字“某某屬于正實(shí)數(shù)集”，以及集合{x∈R|x>0}或者{x|x>0,x∈R}的形式來表示正實(shí)數(shù)集.這一點(diǎn)，所有數(shù)學(xué)期刊和教材都必須注意，并逐漸改正過來.(需要指出的是，對(duì)一般性圖書來說，作者為了行文方便可以自行定義一些符號(hào)，但是不能和有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)沖突；另外，有的教師喜歡自己生造數(shù)學(xué)符號(hào)，這就如同錯(cuò)別字一樣，是不值得提倡的)

4 矩陣

按照新的標(biāo)準(zhǔn)，矩陣的符號(hào)既可以用圓括號(hào)表示，也可以用方括號(hào)表示.但在排版軟件中，如果數(shù)學(xué)公式比較長，那么圓括號(hào)也會(huì)自動(dòng)拉長，以致走形；而且，用圓括號(hào)在日常教學(xué)手寫時(shí)容易和坐標(biāo)等混淆(比如矩陣[12]和坐標(biāo)(1，2)等)，因此建議使用方括號(hào)來表示矩陣.

5 因?yàn)?、所?/p>

以前在幾何學(xué)中，因?yàn)椤⑺缘姆?hào)是∵、∴，文[3]指出這兩個(gè)符號(hào)最早來源于日文文獻(xiàn)(文[4]認(rèn)為它們最早使用于1659年英國數(shù)學(xué)家雷恩(S．C.Wren，1632-1723)的《代數(shù)》中)，因?yàn)闀鴮懞啽愣鵀槿藗儚V泛接受；但是，它們不是國際標(biāo)準(zhǔn)選定的符號(hào).符號(hào)∵、∴好比兩個(gè)兢兢業(yè)業(yè)的老員工，業(yè)績不錯(cuò)且口碑尚佳，但卻突然遭到無情的裁減下崗，讓人頓生憐憫之心.因此，建議教科書和正規(guī)刊物就用文字“因?yàn)椤薄八浴眮肀磉_(dá)因果推理；而日常教學(xué)和交流，則保留符號(hào)∵、∴.

6 方差、標(biāo)準(zhǔn)差

在不同的教材中，方差的記號(hào)并不統(tǒng)一：在《必修3》教材中，蘇教版和人教A版的樣本方差均是s2；而在《選修2—3》教材中，隨機(jī)變量方差前者用的是V(X)或者σ2，后者方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別用的是DX和σX.我們知道，方差的英文是variance，標(biāo)準(zhǔn)差的英文是standard deviation，因此最先使用DX可能和英文單詞dispersion(離差、差量)或者deviation有關(guān)系，使用s2可能和standard的第一個(gè)字母有關(guān)系.鑒于大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)變量方差記法多為V(X)或者σ2的現(xiàn)實(shí)，建議方差符號(hào)統(tǒng)一為V(X)或者σ2(X)，而標(biāo)準(zhǔn)差符號(hào)統(tǒng)一為V(X)或者σ(X).

7 賦值符號(hào)及算法程序語言

在《必修3》的算法內(nèi)容中，有給變量賦值的問題.這就涉及了變量的賦位符號(hào).有的教材采用了程序語言中的等于號(hào)“=”作為賦值符號(hào)，但是蘇教版教材采用的是“←”，比如，給變量x賦初始值1，就可以用“x←1，來表示.這一記號(hào)比等于號(hào)“=”優(yōu)越之處在于形象、直觀，易于理解為從右到左的賦值執(zhí)行過程，在思維上能把變最和常最的混淆區(qū)分開來，因此它比“=”好，建議使用.

另外，在6個(gè)版本的新課標(biāo)教材中，各個(gè)版本講解算法采用的程序語言是不一樣的，其中人教A版、湘教版、鄂教版采用的都是接近于Basic的程序語言，人教B版采用的是科學(xué)計(jì)算自由軟件Scilab語言，蘇教版采用的是Excel自帶的VBA語言，北師大版采用的是C語言.對(duì)于具體的數(shù)學(xué)問題來說，雖然算法思想是一樣的，考試命題時(shí)或許不會(huì)涉及程序語言，但是程序語言使用的不同帶來了不少問題.因?yàn)椴煌某绦蛘Z言規(guī)范和特點(diǎn)是不一樣的——有的比較復(fù)雜，有的比較簡單；有的使用基礎(chǔ)廣泛，有的大家知之甚少——所以就給教師培訓(xùn)、日常教學(xué)、教研交流帶來了困難和紊亂，尤其是一個(gè)省份使用幾套教材的情況.因此，建議最好用統(tǒng)一規(guī)范的、比較基礎(chǔ)的、可以和高中信息技術(shù)課程對(duì)接的程序語言.這樣有利于提高高中課程的效率，簡化日常的教學(xué)行為.

8 精確度、精確到、誤差不超過

這些是與《必修1》教材中二分法有關(guān)的一個(gè)提法，它們?cè)?個(gè)版本的教材中有3種處理方案.第一種方案，蘇教版和北師大版.以文[5]為例，要求方程x²-2x-1=0的一個(gè)近似解(精確到0．1)，采用二分法計(jì)算多次后，發(fā)現(xiàn)x∈(2.375，2．4375)，指出2．375和2．4375精確到0．1的近似解都為2．4，所以此方程的近似解為x≈2．4.第二種方案，人教A版.在文[6]中，給出了精確度ε的提法，指出當(dāng)最后的區(qū)間[a，b]測度|a-b|<ε時(shí)，就得到零點(diǎn)近似值a或b(之后再取a或b的近似值).第三種方案，人教B版、鄂教版和湘教版(雖然湘教版沒有相應(yīng)的例題，但是在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”欄目里提到了近似值誤差).以人教B版為例，書中給出了“誤差不超過”的提法，指出當(dāng)逼近的最后區(qū)間[a璶，b璶]有|a璶-b璶|<2ε時(shí)，計(jì)算終止，此時(shí)取區(qū)間的中間值x璶=b璶+a璶2為近似零點(diǎn)，它與真正的零點(diǎn)誤差不超過ε.

可以看出，雖然所求的近似解不是唯一的，但是從文字上來理解，以上的處理方案是不一樣的：第一種方案“精確到”指向的是最后的結(jié)果，0．1是用來“四舍五入”的，似乎兩個(gè)端點(diǎn)近似值必須相等；第二種方案中的精確度是指最后的區(qū)間測度，兩個(gè)端點(diǎn)精確到精確度時(shí)的精確值是否相同并不要緊，因?yàn)榧瓤梢允莂的近似值也可以是b的近似值，而這二者可以不同，譬如文[6]中的2．5390625和2．53125精確到0．01并不相同，但最后取的是2．54作為近似解；第三種方案算法操作性較強(qiáng)，易于轉(zhuǎn)化為程序語言，它強(qiáng)調(diào)的是“誤差不超過”，并且此處的誤差是第二種方案中“精確度”的一半.因此，建議有關(guān)提法最好統(tǒng)一.

參考文獻(xiàn)

[1] 歐陽昌常.談?wù)勎覍?duì)人教版高一上學(xué)期數(shù)學(xué)教科書的認(rèn)識(shí)和看法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006(4).

[2] 新聞出版署圖書管理司，中國標(biāo)準(zhǔn)出版社(編).作者編輯常用標(biāo)準(zhǔn)及規(guī)范[G]．北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，1997：207.

[3] 陳浩元．科技書刊標(biāo)準(zhǔn)化18講[M].北京師范大學(xué)出版社，1998：143．

[4] 徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史[M].北京，科學(xué)出版社，2006：292-293.

[5] 單壿．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1(必修)[M].南京：江蘇教育出版社，2007：77.

[6] 劉紹學(xué)．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1(必修)A版[M].北京：人民教育出版社，2004；104—106.

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