高中新課程“數(shù)學(xué)史選講”應(yīng)講些什么

國　佳

《普通高中課程標準》基本理念之一就是在高中數(shù)學(xué)課程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，明確規(guī)定數(shù)學(xué)史選講被納入高中數(shù)學(xué)課程，但這部分內(nèi)容“教什么”普遍是令高中教師比較頭疼的問題.

平面解析幾何是17世紀最重要的數(shù)學(xué)成就之一，在數(shù)學(xué)史上具有劃時代意義，具有豐富的文化價值和教育價值，是提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和整體文化認知水平的典型范例.另外在每年的高考數(shù)學(xué)試卷中都占有重要位置，是高考復(fù)習(xí)的重點和難點.但絕大多數(shù)教師的傳統(tǒng)觀念認為學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何主要就是學(xué)會代數(shù)計算和方法，很少介紹解析幾何產(chǎn)生的背景，沒有真正理解解析幾何蘊含的思想方法.雖然數(shù)學(xué)史內(nèi)容已包含在新課程的選修系列3中，但經(jīng)調(diào)查實施狀況并不理想，許多高中教師對這部分內(nèi)容也感到陌生.

本文以平面解析幾何的產(chǎn)生為專題，重點介紹笛卡兒和費馬的解析幾何思想，希望能有助于高中數(shù)學(xué)史課程的實施，并為高中教師對這部分內(nèi)容的講授提供參考.

1 平面解析幾何的基本思想及重要前驅(qū)

在解析幾何學(xué)創(chuàng)立之前，數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)與形，代數(shù)與幾何這兩個古老的數(shù)學(xué)分支各自獨立地存在與發(fā)展，解析幾何的誕生，使代數(shù)與幾何實現(xiàn)了有機的統(tǒng)一.解析幾何的基本思想是在平面上引進所謂“坐標”的概念，并借助這種坐標在平面上的點和有序?qū)崝?shù)對(x,y)之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系.每一對實數(shù)(x,y)都對應(yīng)于平面上的一個點；反之，每一個點都對應(yīng)于它的坐標(x,y).以這種方式可以將一個代數(shù)方程f(x,y)=0與平面上一條曲線對應(yīng)起來，于是幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果.

早在公元前2000年，美索不達米亞地區(qū)的巴比倫人已能用數(shù)字表示一點到另一固定點的距離，已有原始的坐標思想.

公元前4世紀中葉古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯全面論述圓錐曲線性質(zhì)時采用過一種“坐標”，以圓錐體底面的直徑作為橫坐標，過頂點的垂線作為縱坐標.

14世紀法國數(shù)學(xué)家奧雷姆是解析幾何最重要的前驅(qū)，他在《論形態(tài)幅度》這部著作中借用“經(jīng)度”、“緯度”這兩個地理學(xué)術(shù)語來描述他的圖線，相當于橫坐標與縱坐標.他的思想已接觸到在直角坐標系中用曲線表示函數(shù)的圖像，他的中心思想是用圖形來表示一個變量的值，這個量依賴于另一個量，這可以說是函數(shù)概念及函數(shù)圖像法的萌芽.

16世紀末，韋達提出了用代數(shù)方法解決幾何問題的想法，給解析幾何的創(chuàng)立很大啟發(fā).

17世紀初，開普勒發(fā)現(xiàn)行星圍繞太陽運動的軌跡是橢圓，提出了行星運動三大定律，伽利略提出各種拋射體的運動軌跡是拋物線，這些都要求數(shù)學(xué)從運動變化的觀點研究問題，并引起人們對圓錐曲線的興趣，從客觀上促進了解析幾何的建立.

解析幾何的真正發(fā)明還要歸功于法國另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒與費馬，他們工作的出發(fā)點不同，但卻殊途同歸.

2 笛卡兒與平面解析幾何

笛卡兒（1596－1650）是法國杰出的哲學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，又是生物學(xué)的奠基人.在笛卡兒之前，幾何和代數(shù)這兩個學(xué)科早就發(fā)展起來了，笛卡兒認為，歐幾里得幾何過分強調(diào)證明的技巧性，過分依賴于圖形，不利于提高人們的想象力；代數(shù)又完全受法則和公式的約束.他主張把邏輯、代數(shù)、幾何三者的優(yōu)點結(jié)合起來，建立一種“普遍的數(shù)學(xué)”.笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的要旨是把幾何問題歸結(jié)為代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的，即幾何代數(shù)化的方法.

笛卡兒解析幾何的基本思想包括：

（1）引入坐標觀念：受到法國人奧雷姆思想的影響，從經(jīng)緯度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對(x,y)的對應(yīng)關(guān)系.

（2）利用坐標法，提出用曲線表示方程的思想：考慮二元方程f(x,y)=0的性質(zhì)，滿足這方程的x,y值無窮多.x,y不同的數(shù)值所確定的平面上許多不同點，便構(gòu)成一條曲線.這樣，一個方程就可以通過幾何的直觀和方法來處理.

（3）利用代數(shù)方法，提出了用方程表示曲線的思想：具有某種性質(zhì)的點，它們之間的關(guān)系可用一個方程表示.

笛卡兒在1637年出版了《更好地推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，《幾何學(xué)》是其中三個附錄之一，大約占100頁，《幾何學(xué)》被認為是解析幾何創(chuàng)立的標志.他首先改善了符號代數(shù)記法，他用小寫字母a,b,c等代表已知量，x,y,z等代表未知量，這種用法一直延續(xù)至今.他設(shè)計用數(shù)字上標代替“平方”“立方”等詞語表達法，對于希臘人來說，一個變量相當于某線段的長度，兩個變量的乘積相當于某個矩形的面積，三個變量的乘積相當于某長方體的體積，三個以上變量的乘積，希臘人就沒法處理了.笛卡兒則把x²看作比例式1∶x=x∶x²的第四比例項.因為對于一個量而言，其平方和立方跟該量本身并無質(zhì)的區(qū)別.笛卡兒以單位量和比例式1∶x=x∶x²=x²∶x³=L為例說明數(shù)字上標僅表示跟單位量聯(lián)系所需的“關(guān)系”數(shù)目.x只通過一個“關(guān)系”（比）跟單位量聯(lián)系在一起，x²則要通過兩個“關(guān)系”與單位量聯(lián)系在一起.據(jù)此可以用算術(shù)語言引進幾何.

笛卡兒在《幾何學(xué)》第二卷中，用“不確定的”代數(shù)方程研究幾何曲線，證明了著名的希臘數(shù)學(xué)問題——帕波斯問題：設(shè)在平面上給定四條直線AG、GH、EF和AD，求從C點作四條直線CB、CD、CF和CH分別與已知直線交于已知角，且滿足關(guān)系CB·CF=CD·CH的點的軌跡.他的解法中包含了解析幾何主要思想：假定C點已找到，記AB為x，BC為y，經(jīng)幾何分析，他用已知量表出CD、CF和CH的值，代入CB·CF=CD·CH，就得到一個關(guān)于x和y的二次方程y²=Ay+Bxy+Cx+Dx²，其中A、B、C、D是由已知量組成的簡單代數(shù)式.于是他指出，任給x一個值，就得到一個關(guān)于y的二次方程，從這個方程可以解出y.如果我們?nèi)o窮多個x值，就得到無窮多個y值，從而得到無窮多個點C，這些點C的軌跡就是二次方程代表的曲線.在這道題中笛卡兒選取直線AB作為基線（相當于一根坐標軸），以點A為原點，x值是基線的長度，y值是另一條線段的長度，該線段從基線出發(fā)，與基線交成定角.正是如此，笛卡兒建立了歷史上第一個傾斜坐標系.由此，他把幾何曲線變成代數(shù)方程，然后通過研究代數(shù)方程來揭示曲線的性質(zhì).他斷言，方程的次數(shù)與坐標軸的選擇無關(guān)，指出這個軸要選得使最后得出的方程愈簡單愈好.

3 費馬與平面解析幾何

費馬（1601－1665）是一名律師，雖然數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好，但他對數(shù)學(xué)做出了極為重要的貢獻.費馬與笛卡兒不同，他對于曲線的探討，出發(fā)點是竭力恢復(fù)失傳的阿波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》，費馬撰寫了《平面與立體軌跡引論》，他認為古人對于軌跡沒有給予充分而又一般的表示，要解決這一問題，只能借助代數(shù).

費馬是這樣考慮曲線和它上面的點（如右圖），他取一條水平的直線作為軸，并在此直線上確定一個點作為原點，一般的點J的位置由A,E兩個字母確定.A是從點O沿底線到點Z的距離，E是從點Z到J的距離，他所用的坐標是斜坐標，y軸沒有明確標出，而且不用負數(shù).這里的A和E相當于現(xiàn)在的x,y.費馬的解析幾何原理是：只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個未知量，我們就有一條軌跡，這兩個量之一的末端描繪出一條直線或曲線.圖中對于不同位置的J，其末端J，J′,J″,……就描繪出一條曲線來.這里的未知數(shù)A,E皆為變量.或者說聯(lián)系A(chǔ),E的方程是不定的.但他規(guī)定，如果方程是一次的，就代表一條直線；如果是二次的，就代表圓錐曲線.例如，他指出Dx=By（用我們現(xiàn)在的記號）代表一條直線；a²-x²=y²是圓的方程；a²-x²=ky²是橢圓方程；a²+x²=ky²是雙曲線方程；x²=ay是拋物線方程.但有一點要注意，因為費馬不用負坐標，他的方程不能代表整個曲線.

總之，費馬主要是繼承了希臘人的思想，他的成功之處在于把希臘數(shù)學(xué)中所發(fā)現(xiàn)的曲線特征，通過引進坐標譯成了代數(shù)語言，這使得不同的曲線有了代數(shù)方程的一般表示方法.而笛卡兒從批判傳統(tǒng)出發(fā)，費馬從方程出發(fā)研究軌跡，而笛卡兒則從軌跡建立方程，方法各有側(cè)重，但從歷史的角度來看，笛卡兒的做法更具突破性.

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