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    共邊定理

    2008-07-22 09:35:00張景中
    關(guān)鍵詞:高明名譽(yù)中國(guó)科學(xué)院

    作者簡(jiǎn)介:張景中,1936年生,河南省汝南人.1959年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.1995年當(dāng)選為中國(guó)科學(xué)院院士.現(xiàn)任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng),中國(guó)科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所名譽(yù)所長(zhǎng),廣州大學(xué)教育軟件研究所名譽(yù)所長(zhǎng),教育部教育信息技術(shù)工程研究中心學(xué)術(shù)委員會(huì)主任.

    科研之余,熱心科普和基礎(chǔ)教育.出版少兒讀物10余冊(cè),多次獲獎(jiǎng),其中《數(shù)學(xué)家的眼光》于2005年獲國(guó)家科學(xué)技術(shù)進(jìn)步二等獎(jiǎng).所主持開發(fā)的“Z+Z智能教育平臺(tái)”在全國(guó)上千所中學(xué)廣泛使用,得到一致好評(píng).

    圖1中有△PAB和△QAB,問:△PAB與△QAB的面積之比是多少?

    這個(gè)問題不難解答.因?yàn)槿切蚊娣e等于底和高之積的一半,而顯然△PAB和△QAB共底,要求面積之比,只需求兩三角形的高之比.作出兩三角形的高PD、QE(如圖2),可得=.那么,我們要做的工作就是作兩個(gè)高,測(cè)量?jī)纱?,作一次?jì)算,這個(gè)問題就解決了.

    有沒有更簡(jiǎn)單一點(diǎn)的辦法呢?因?yàn)樽鞲弑容^麻煩.如果只是尺子一擺,順手作出,那么就可能出現(xiàn)較大的誤差.可不可以避免作高呢?辦法也是有的!連接PQ,可以延長(zhǎng)PQ、AB(如圖3),使之相交于點(diǎn)M,則有=.這是為什么呢?

    學(xué)過相似三角形的讀者很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)△PDM∽△QEM,因而有=.那么,沒有學(xué)過相似三角形的讀者能否明白其中的道理呢?辦法仍然是有的.在直線AB上取點(diǎn)N(如圖4),使得MN=AB,于是==.這里用到了“同高三角形的面積之比等于底之比”.因?yàn)槲覀儼裀M看成△PNM的底,把QM看成△QNM的底,那么△PNM和△QNM就成了同高三角形.

    回顧我們思考的過程,從中可以獲得一些有益的啟示:

    第一,不要放過那些表面上看似尋常的問題,它們的背后也許還有很多你沒弄明白的東西;

    第二,找到一種解決方法的時(shí)候,不妨再想想,有沒有更簡(jiǎn)單、更高明的方法;

    第三,更簡(jiǎn)單、更高明的方法也許要用到更多的數(shù)學(xué)知識(shí).不妨進(jìn)一步想想,能否用更少的、更基本的知識(shí)來說明它.

    問題并沒有結(jié)束,我們還可以舉一反三.圖1中畫出的兩個(gè)三角形有一條公共邊AB.但是,有公共邊的兩個(gè)三角形情形是多種多樣的,它們的位置關(guān)系并不一定像圖1那樣.下面我們給出一個(gè)定理.

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