共邊定理

作者簡(jiǎn)介：張景中，1936年生，河南省汝南人.1959年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.1995年當(dāng)選為中國(guó)科學(xué)院院士.現(xiàn)任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)，中國(guó)科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所名譽(yù)所長(zhǎng)，廣州大學(xué)教育軟件研究所名譽(yù)所長(zhǎng)，教育部教育信息技術(shù)工程研究中心學(xué)術(shù)委員會(huì)主任.

科研之余，熱心科普和基礎(chǔ)教育.出版少兒讀物10余冊(cè)，多次獲獎(jiǎng)，其中《數(shù)學(xué)家的眼光》于2005年獲國(guó)家科學(xué)技術(shù)進(jìn)步二等獎(jiǎng).所主持開發(fā)的“Z+Z智能教育平臺(tái)”在全國(guó)上千所中學(xué)廣泛使用，得到一致好評(píng).

圖1中有△PAB和△QAB，問：△PAB與△QAB的面積之比是多少？

這個(gè)問題不難解答.因?yàn)槿切蚊娣e等于底和高之積的一半，而顯然△PAB和△QAB共底，要求面積之比，只需求兩三角形的高之比.作出兩三角形的高PD、QE（如圖2），可得=.那么，我們要做的工作就是作兩個(gè)高，測(cè)量?jī)纱?，作一次?jì)算，這個(gè)問題就解決了.

有沒有更簡(jiǎn)單一點(diǎn)的辦法呢？因?yàn)樽鞲弑容^麻煩.如果只是尺子一擺，順手作出，那么就可能出現(xiàn)較大的誤差.可不可以避免作高呢？辦法也是有的！連接PQ，可以延長(zhǎng)PQ、AB（如圖3），使之相交于點(diǎn)M，則有=.這是為什么呢？

學(xué)過相似三角形的讀者很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)△PDM∽△QEM，因而有=.那么，沒有學(xué)過相似三角形的讀者能否明白其中的道理呢？辦法仍然是有的.在直線AB上取點(diǎn)N（如圖4），使得MN=AB，于是==.這里用到了“同高三角形的面積之比等于底之比”.因?yàn)槲覀儼裀M看成△PNM的底，把QM看成△QNM的底，那么△PNM和△QNM就成了同高三角形.

回顧我們思考的過程，從中可以獲得一些有益的啟示：

第一，不要放過那些表面上看似尋常的問題，它們的背后也許還有很多你沒弄明白的東西；

第二，找到一種解決方法的時(shí)候，不妨再想想，有沒有更簡(jiǎn)單、更高明的方法；

第三，更簡(jiǎn)單、更高明的方法也許要用到更多的數(shù)學(xué)知識(shí).不妨進(jìn)一步想想，能否用更少的、更基本的知識(shí)來說明它.

問題并沒有結(jié)束，我們還可以舉一反三.圖1中畫出的兩個(gè)三角形有一條公共邊AB.但是，有公共邊的兩個(gè)三角形情形是多種多樣的，它們的位置關(guān)系并不一定像圖1那樣.下面我們給出一個(gè)定理.