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    計(jì)數(shù)問(wèn)題規(guī)律探索

    2008-07-07 05:18:36鄭俊哲
    關(guān)鍵詞:走法乙地甲地

    鄭俊哲

    計(jì)數(shù)問(wèn)題,就是數(shù)數(shù)問(wèn)題,當(dāng)數(shù)目很小時(shí),數(shù)的仔細(xì)些就能數(shù)對(duì);數(shù)目不是很大時(shí),找對(duì)規(guī)則也一定數(shù)不錯(cuò);但當(dāng)數(shù)目很大時(shí),就要有一定的技巧才能做到又快又對(duì). 常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理、列表法、歸納猜想法、分類討論法等.

    對(duì)于計(jì)數(shù)問(wèn)題,常用到高斯求和公式:1+2+3+…+n= (n+1)n.

    一、枚舉法

    例1如圖1,ABCD是一個(gè)正方形,邊長(zhǎng)為2 cm,沿著圖中線段從A到C的最短長(zhǎng)度為4 cm.這樣的最短路線共有多少條?請(qǐng)一一畫(huà)出來(lái).

    解:將各種路線一一列出,可知共6條,見(jiàn)圖2.

    二、利用加法原理和乘法原理

    加法原理做一件事,完成它有n類辦法,其中第一類辦法中有m1種方法,第二類中有m2種方法,…,第n類辦法中有mn種方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

    例2從甲地到乙地可乘火車(chē),也可乘汽車(chē)或輪船.一天中火車(chē)有4班,汽車(chē)有2班,輪船有3班,那么一天中,乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?

    解:完成由甲地到乙地這件事有三類辦法:第一類辦法坐火車(chē),一天中有4種不同走法.第二類辦法坐汽車(chē),一天中有2種不同走法.第三類辦法坐輪船,一天中有3種不同走法.由加法原理得:4+2+3=9(種).

    乘法原理做一件事,完成它需要分成n個(gè)步驟,第一個(gè)步驟有m1種不同的方法,第二個(gè)步驟有m2種不同的方法,…,第n個(gè)步驟有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1·m2·…·mn種不同的方法.

    例3由數(shù)字1、2、3、4、5可組成多少個(gè)允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?

    解:組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事可分三個(gè)步驟完成:第一步確定百位上的數(shù)字:有5種不同方法.第二步確定十位上的數(shù)字:有5種不同方法.第三步確定個(gè)位數(shù)字:有5種不同方法.由乘法原理:5×5×5=125(個(gè)).

    三、列表法

    列表可簡(jiǎn)單明確地反映題目中數(shù)量關(guān)系、計(jì)算的過(guò)程,既可提高效率、減少和避免錯(cuò)誤,又有利于檢查分析數(shù)據(jù)、得出正確的實(shí)驗(yàn)結(jié)論.

    例4三邊都是正整數(shù),且最長(zhǎng)的邊為11的三角形有多少個(gè)?

    解:設(shè)a,b,c 為三角形的三邊,且a≤b≤c,則c=11.又a+b>c,從而2b>11,所以6≤b≤11,我們按b的取值列表:

    所以滿足條件的三角形共有:1+3+5+7+9+11=36(個(gè)).

    四、歸納猜想法

    歸納猜想就是先對(duì)幾種簡(jiǎn)單情形進(jìn)行分析,然后從中歸納猜想出一般的規(guī)律,再進(jìn)行推廣.

    例51條直線最多將平面分成2個(gè)部分;2條直線最多將平面分成4個(gè)部分;3條直線最多將平面分成7個(gè)部分……

    (1) 8條直線最多能把平面分成多少部分?

    (2)n條直線最多能把平面分成多少部分?

    解:1條直線最多將平面分成2個(gè)部分:S=1+1.

    2條直線最多將平面分成4個(gè)部分:S=1+1+2.

    3條直線最多將平面分成7個(gè)部分:S=1+1+2+3.

    現(xiàn)在添上第4條直線.它與前面的3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn),這3個(gè)交點(diǎn)將第4條直線分成4段,其中每一段將原來(lái)所在平面部分一分為二,所以4條直線最多將平面分成 7+4=11個(gè)部分:S=1+1+2+3+4.

    依此類推:8條直線最多將平面分成的部分?jǐn)?shù):S=1+1+2+3+4+5+6+7+8=37(個(gè)).

    n條直線最多將平面分成的部分?jǐn)?shù):S=1+1+2+3+…+n= .

    五、分類討論法

    分類討論的思想方法的實(shí)質(zhì)是把問(wèn)題“分而治之,各個(gè)擊破”.其一般規(guī)則及步驟是:(1)確定同一分類標(biāo)準(zhǔn);(2)恰當(dāng)?shù)貙?duì)全體對(duì)象進(jìn)行分類,按照標(biāo)準(zhǔn)對(duì)分類做到“既不重復(fù)又不遺漏”;(3)逐類討論,按一定的層次討論,逐級(jí)進(jìn)行;(4)綜合概括小結(jié),歸納得出結(jié)論.

    “本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”

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