梯形中常用輔助線作法

李巧鴿

梯形是幾何平面中一種常見的圖形，它是在三角形和平行四邊形的基礎上進行研究的.在解決有關梯形知識的問題中，往往通過添加適當?shù)妮o助線，把梯形轉化為平行四邊形或三角形.在學生已有的知識體系中利用圖形的轉換將復雜的問題簡單化，不同條件的梯形轉換方式也不盡相同.因此輔助線添加方式也因其而異.下面就自己的教學經(jīng)驗淺談一下梯形中常見的輔助線作法.

１．平移一腰．即從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形.然后利用平行四邊形及三角形的性質解決問題.

例１如圖１，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝５０°，∠Ｃ＝８０°，ＡＤ＝１０ ｃｍ，ＢＣ＝１８ ｃｍ.求ＣＤ的長.

分析：過Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交ＢＣ于點Ｅ，則四邊形ＡＥＣＤ為平行四邊形.欲求ＣＤ的長，只要求出ＡＥ即可.

２．從上底的兩個端點作下底的垂線，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形.如果是等腰梯形，所得到的兩個直角三角形是全等的.

例２如圖２，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝４，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝６０°，求梯形ＡＢＣＤ的面積.

分析：根據(jù)已知條件知，欲求梯形面積需先求出下底和高，故作高ＡＨ、ＤＧ，易證ＢＨ＝ＧＣ，ＨＧ＝ＡＤ．進而求出ＢＣ．由勾股定理和直角三角形的性質可求出高ＡＨ.求等腰梯形的面積一般都要求高，而求高通常同時作兩條高，把梯形分成一個矩形和兩個全等的直角三角形，結合矩形和直角三角形的有關性質解決問題．

３．平移對角線．即從上底的一個端點作一條對角線的平行線，通過平移對角線可將對角線、上底、下底集中到同一個三角形中.平移后的對角線與另一條對角線及兩底之和組成的三角形與原梯形面積相等.

例３如圖３，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝１，ＢＣ＝４，ＡＣ＝３，ＢＤ＝４，求梯形的面積.

分析：欲求梯形ＡＢＣＤ的面積，已知上下底的長，只要求出梯形ＡＢＣＤ的高.過Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延長線于Ｅ，則四邊形ＡＣＥＤ為平行四邊形，從而ＡＤ＝ＣＥ.即得梯形ＡＢＣＤ的面積等于△ＢＤＥ的面積，故求出△ＢＤＥ的面積即可.

４．延長梯形的兩腰到一點，得到兩個三角形．如果是等腰梯形，則得到兩個分別以梯形的兩底為底的等腰三角形.

例４如圖４，在四邊形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＤ＜ＢＣ.

求證：四邊形ＡＢＣＤ為等腰梯形.

分析：欲證四邊形ＡＢＣＤ為等腰梯形，已知∠Ｂ＝∠Ｃ，故只要證明ＡＤ∥ＢＣ即可．延長ＢＡ、ＣＤ交于點Ｅ．證得△ＡＥＤ、△ＢＥＣ均為等腰三角形．從而易得ＡＤ∥ＢＣ．

５．過梯形上底中點作兩腰的平行線，把梯形轉化為兩個平行四邊形 和一個三角形.如果是等腰梯形，得到的三角形是等腰三角形，再利用等腰三角形的性質解決問題.

例５如圖５，已知等腰梯形ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，點Ｅ、Ｆ分別為ＡＤ、ＢＣ的中點，求證：ＥＦ⊥ＢＣ.

分析：欲證ＥＦ⊥ＢＣ，可過Ｅ作ＥＭ∥ＡＢ， ＥＮ∥ＣＤ，分別交ＢＣ于點Ｍ、Ｎ.即得ＢＭ＝ＡＥ，ＣＮ＝ＤＥ，ＭＦ＝ＮＦ，ＭＥ＝ＮＥ．利用等腰三角形三線合一的性質可得ＥＦ⊥ＢＣ.

６．旋轉上底.以一腰中點為旋轉中心，順時旋轉１８０°.使上底旋轉到下底所在直線的位置.構造出全等三角形.在梯形中出現(xiàn)上底與下底之和等于一腰長時，利用此種方法添加輔助線，將分散的線段相對集中，并構造出等腰三角形，再運用等腰三角形三線合一的性質解決線段垂直、角相等等問題.

例６如圖６，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，且ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ.Ｍ為ＣＤ的中點，求證：（１）ＡＭ⊥ＢＭ.（２）ＡＭ平分∠ＢＡＤ，ＢＭ平分∠ＡＢＣ.

分析：欲證ＡＭ⊥ＢＭ，先延長ＡＭ交ＢＣ的延長線與點Ｅ（即以點Ｍ為中心△ＡＤＭ順時旋轉１８０°與△ＥＣＭ重合），易證△ＡＤＭ≌△ＥＣＭ，得ＣＥ＝ＡＤ，ＡＭ＝ＥＭ．由ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＢ得ＡＢ＝ＢＥ．利用等腰三角形三線合一的性質得ＡＭ⊥ＢＭ，所以ＢＭ平分∠ＡＢＣ．易證ＡＭ平分∠ＢＡＤ．

總之，在解決有關梯形的問題時，可通過作輔助線——平移線段、延長線段、旋轉線段等，把梯形分割成平行四邊形和三角形或構造出全等三角形、等腰三角形，把有關的線段和角相對集中到一個三角形中，利用三角形、平行四邊形的知識解決梯形問題．

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”