破譯點陣中的特殊三角形

吳延樹

紙上給定幾個點，你能畫出特殊的三角形嗎？試試看！

問題1紙上畫出5個點，任意3個點組成的三角形都是等腰三角形，問這5個點該怎樣放.畫出你認為可能的一種情況.

探究過程：有的同學可能馬上聯(lián)想到正方形的四個頂點和它的中心（對角線的交點）這5個點，如圖1，但有的三點（如點A、O、C）因共線（即三點在一條直線上）不能組成三角形，所以否定此種情形；也有的同學畫出了一個正方形和其邊長相等的一個等邊三角形，按如圖2所示的兩種情形進行了拼接，確實有幾組三個點能夠組成等腰三角形（如等腰三角形PCD、APB等），但也有幾組三個點（如點P、B、D等）不能構(gòu)成等腰三角形，故也不符合題意.同學們經(jīng)過冥思苦想、多方驗證，發(fā)現(xiàn)正五邊形的五個頂點恰好符合題意（如圖3）.還有其他的情形，不過我們所學知識有限，以后會明白的.

問題210個點如圖4所示那樣放置.把這些點作為三角形的頂點，可畫多少個正三角形？至少應(yīng)當去掉多少個點，才能使得留下的任何三點都不能組成一個正三角形？

探究過程：依次連接各點，如圖5.若把相鄰的兩點之間的距離設(shè)為1個單位長度，那么可分類如下：

邊長為1的正三角形的個數(shù)為：1+3+5=9；

邊長為2的正三角形的個數(shù)為：1+2=3；

邊長為3的正三角形的個數(shù)為1；

邊長為BH或CD的正三角形個數(shù)為：1+1=2