有關多邊形邊數(shù)問題的思考方法

耿京娟

我們現(xiàn)在學多邊形，主要是了解多邊形的邊數(shù)、內角、外角及它們的相互關系.解答這類問題用到的主要知識點是多邊形的內角和公式與外角和為360°.解題方法主要是利用公式列方程.

一、多邊形的內角和與邊數(shù)的關系

例1如果一個多邊形的邊數(shù)增加1倍，新多邊形的內角和是2 160°，求原來多邊形的邊數(shù).

分析：本題考查多邊形的內角和定理，解題的關鍵是邊數(shù)的變化.根據(jù)多邊形內角和定理及已知條件列出方程.設原來多邊形的邊數(shù)為n，那么邊數(shù)增加1倍后的多邊形邊數(shù)為2n，內角和為（2n-2）×180°.

解： 設原來多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得

（2n-2）×180°=2 160°.

解得n=7.故原多邊形的邊數(shù)是7.

例2若一個多邊形的每一個內角都是鈍角，則這樣的多邊形的邊數(shù)最少是幾？

分析：多邊形的內角與和它相鄰的一個外角為鄰補角.由題設知，多邊形的每一個內角都是鈍角，所以其每一個外角都是銳角.多邊形的外角和恒等于360°，4個銳角的和小于360°，至少5個銳角的和才可能等于360°.

解： 略.

二、多邊形的外角與邊數(shù)的關系

例3如果一個多邊形的每一個外角都等于36°，求這個多邊形的邊數(shù).

分析：若設多邊形的邊數(shù)為n，則這個多邊形有n個外角，由題設知每個外角都等于36°，而多邊形的外角和是360°，從而易求得多邊形的邊數(shù).

解： 設多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得方程

36°×n=360°.

解得n=10.故這個多邊形的邊數(shù)是10.

三、多邊形的外角和、內角和與邊數(shù)的關系

例4已知一個多邊形的外角和等于內角和的，求這個多邊形的邊數(shù).

分析：根據(jù)多邊形的內角和（與邊數(shù)n有關）與外角和（恒等于360°，與邊數(shù)無關）的一種關系，利用已知條件列出關于n的一元一次方程，解方程可求得邊數(shù)n.

解： 設多邊形的邊數(shù)為n，則這個多邊形的內角和是（n-2）×180°.又已知多邊形的外角和是360°，故（n-2）×180°=360°.解得n=8.所以這個多邊形的邊數(shù)是8.

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