用正多邊形拼地板圖案的學(xué)問

李鳳春

當(dāng)我們走進某些大商場的時候，經(jīng)常會驚嘆于用地磚拼出來的多姿多彩的美麗圖案.其實只要我們認真觀察就不難發(fā)現(xiàn)，這些圖案大多是由正多邊形拼成的.你知道這其中的學(xué)問嗎？下面我們就探究一下用正多邊形拼地板圖案的方法.本文所說的用正多邊形拼地板圖案，是指用正多邊形拼成一個平面圖形，圍繞一點拼在一起的幾個內(nèi)角加在一起恰好是一個周角.

一、用相同的正多邊形拼地板圖案

例1只用下列正多邊形中的一種不可以拼地板圖案的是（）.

A. 正三角形B. 正方形

C. 正五邊形 D. 正六邊形

解析： 如圖1，我們可以看到，6個正三角形可以拼地板圖案.再看圖2、圖4，知正方形和正六邊形也是可以拼地板圖案的.而正五邊形（如圖3）是不能拼地板圖案的.此題的答案為C.

評注：由這4幅圖我們很容易發(fā)現(xiàn)用同一種正多邊形拼地板圖案的規(guī)律：幾個相同正多邊形在公共頂點處的內(nèi)角加在一起恰好是360°（60°×6=360°，90°×4=360°，120°×3=360°），即正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)×正多邊形的個數(shù)=360°.也可以說用同一種正多邊形繞一個頂點拼地板圖案時，360° 要能被這個正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)整除，即360°÷=為正整數(shù)，用這種正多邊形才可以拼地板圖案.

例2只用正十邊形能不能拼地板圖案？為什么？

解析： 一種正多邊形能不能拼地板圖案，只要看360° 能否被它的一個內(nèi)角的度數(shù)整除.若能整除，則能拼地板圖案；若不能整除，則不能拼地板圖案.正十邊形的每個內(nèi)角都為144°，360°÷144°=2.5，不是整數(shù)，所以正十邊形不能拼地板圖案.

評注：我們來看下面的表格.

可以發(fā)現(xiàn)，用相同的正多邊形可以拼地板圖案的只有正三角形、正方形、正六邊形.

二、用不同的正多邊形拼地板圖案

例3現(xiàn)有正方形地磚和正三角形地磚若干，用它們可以拼地板圖案嗎？

解析： 如圖5，2個正方形地磚和3個正三角形地磚可以拼地板圖案（也可以拼成圖6那樣）.

評注：用不同的正多邊形拼地板圖案時，只要所有正多邊形在公共頂點處的內(nèi)角之和等于360° 便可.

知道了上面的這個結(jié)論，大家想一想，用正六邊形和正三角形可以拼地板圖案嗎？

因正三角形和正六邊形的每個內(nèi)角分別為60°和120°，所以有60°×2 + 120°×2=360°或60°×4 + 120°×1=360°，它們是可以拼地板圖案的（如圖7、圖8）.

因正六邊形、正三角形、正方形的每個內(nèi)角分別為120°、60°、90°，所以有120°×1 + 60°×1 + 90°×2=360°，它們也可以拼地板圖案.

即學(xué)即練

一、選擇題

1. 只選擇下列正多邊形的一種，能拼地板圖案的是（）.

2. 只用下列正多邊形中的一種，不能拼地板圖案的是（）.

A. 正方形B. 正三角形

C. 正十一邊形D. 正六邊形

3. 僅用正六邊形的瓷磚拼地板時，同一拼接點處的正六邊形應(yīng)有（）.

A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個

4. 下列正多邊形的組合能拼地板圖案的是（）.

A. 正三角形和正五邊形

B. 正方形和正五邊形

C. 正五邊形和正八邊形

D. 正方形和正八邊形

二、填空題

5. 將幾個相同的正多邊形圍繞一點拼在一起，當(dāng)公共頂點處的幾個內(nèi)角的和為時，這種正多邊形可以拼地板圖案.

三、判斷題（正確的打“√”，錯誤的打“×”）

6. 任意一種正多邊形都能拼地板圖案.（）

7. 任意一種等腰三角形都能拼地板圖案.（）

8. 只要多邊形的各邊相等，就一定能拼地板圖案.（）

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