“圓內(nèi)接四邊形中兩組對邊的積的和等于兩對角線的積”,這是著名的托勒密定理. 眾所周知,它在幾何領域特別是圓這一內(nèi)容中有著極為重要的作用. 然而,很多人不清楚它其實在代數(shù)研究中也有著舉足輕重的作用,甚至在某些代數(shù)問題的解決中,特別在數(shù)學競賽輔導中扮演了一個非常活躍的角色.
1 定理內(nèi)容
圖1已知:四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,則有:AC·BD=AB·CD+AD·BC.
證明:作∠2=∠1,顯然可得:△APB∽△ACD,△ADP∽△ABC,所以AB·CD=AC·BP,BC·AD=AC·PD,所以AB·CD+BC·AD=AC·(PB+PD)=AC·BD.
定理揭示了幾何元素間的有關關系,但我們完全不必要拘泥于幾何中,只要把相關的幾何量用習慣的數(shù)量關系來表示,即設AB=a,CD=b,BC=c,AD=d,AC=e,則定理即可寫成:ab+cd=ef(*).這樣原本幾何量間的關系式轉(zhuǎn)變成了數(shù)量間的結(jié)構(gòu)式(*)了,也就是說,凡滿足了(*)式的形式即可去嘗試構(gòu)造圖1的幾何圖形,很多問題也都能迎刃而解了.
2 證明等式問題
托勒密定理作為揭示圓內(nèi)接四邊形中邊與對角線的特定關系定理,在幾何中起著獨特的作用. 然而,我們將其“移植”到代數(shù)中,更是起到了如此“妙不可言”的作用,正所謂:數(shù)形結(jié)合、以形促數(shù)、其妙無比啊!
作者簡介 源穗寧,男,1962年出生畢業(yè)于浙江寧波師范學院數(shù)學系,本科學歷,中學數(shù)學高級教師現(xiàn)任教于寧波惠貞書院《提高學生想象力,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維》2001年4月發(fā)表于《上海中學數(shù)學》,《一道習題教學的一些探索》2001年4月發(fā)表于《中學數(shù)學雜志》,《初中數(shù)學學困生觀察特征分析》2003年4月發(fā)表于《中學數(shù)學研究》《冷眼旁觀新課改》2007年6月發(fā)表于《中學數(shù)學研究》
注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>