鐘表里的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)

時(shí)鐘是必不可少的日常生活用具以時(shí)鐘為載體構(gòu)建的數(shù)學(xué)考賽題較為常見(jiàn)，且有一定難度今分類(lèi)例析，供大家參考

1 時(shí)鐘盤(pán)面構(gòu)造與基本工作原理

1.時(shí)鐘盤(pán)面被等分為12個(gè)大格，每個(gè)大格所對(duì)的圓心角為360°÷12=30°；每個(gè)大格又被分成5個(gè)小格，每個(gè)小格所對(duì)的圓心角為30°÷5=6°；時(shí)針與分針同時(shí)運(yùn)動(dòng)，時(shí)針轉(zhuǎn)一大格為1小時(shí)，轉(zhuǎn)一小格為12分鐘分針轉(zhuǎn)一小格為1分鐘

2.時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)30°角，轉(zhuǎn)速為：30°/h=0.5°/min；分針一小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)360°角，轉(zhuǎn)速為：360°/h=6°/min.

3.當(dāng)時(shí)間為h時(shí)m分（為方便應(yīng)用，規(guī)定0≤h＜12，0≤m＜60）時(shí)，設(shè)時(shí)針從“指向0時(shí)0分”到“指向h時(shí)m分”轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α（0°≤α＜360°），則α=30°·(h+m60)；分針從“指向h時(shí)0分”到“指向h時(shí)m分”轉(zhuǎn)過(guò)的角度為β（0°≤β＜360°），則β=30°·m5.

圖1例1 （2007年，臺(tái)灣中考）如圖1，在地面上有一個(gè)鐘，鐘面的12個(gè)粗線刻度是整點(diǎn)時(shí)時(shí)針(短針)所指的位置根據(jù)圖中時(shí)針與分針(長(zhǎng)針)的位置，該鐘面所顯示的時(shí)刻在下列哪一范圍內(nèi)？

A 3點(diǎn)～4點(diǎn)

B6點(diǎn)～7點(diǎn)

C 8點(diǎn)～9點(diǎn)

D10點(diǎn)～11點(diǎn)

析解 設(shè)此時(shí)此刻為h時(shí)m分，觀察圖中時(shí)針與分針的位置可知，時(shí)針從“h時(shí)0分”到“h時(shí)m分”轉(zhuǎn)過(guò)了4個(gè)小格，則m=48，分針應(yīng)指向48分鐘處，圖中點(diǎn)A處所示刻度應(yīng)為“9”，由此推知所示時(shí)間為10:48，在10點(diǎn)～11點(diǎn)范圍內(nèi)，選D.

例2 （2007年，廣東中山中考）由2:15到2:30，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是.

析解 分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，從2:15到2:30共15分鐘，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是6°×15=90°.

例3 （2006年，棗莊中考）鐘表的軸心到分針針端的長(zhǎng)為5cm，那么經(jīng)過(guò)40分鐘，分針針端轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是（）

A10π3cm B20π3cm

C25π3cm D50π3cm

析解 分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，40分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是6°×40=240°，分針針端轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是2·π·5360·240=20π3cm，選B.

例4 在5點(diǎn)到6點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，鐘面上時(shí)針和分針在“5”的兩旁并且到“5”的距離相等？

析解 設(shè)5點(diǎn)m分時(shí)，時(shí)針和分針到“5”的距離相等.由題意，根據(jù)“角平分線的判定定理”可知，點(diǎn)“5”應(yīng)在時(shí)針和分針夾角的平分線上時(shí)針從“指向5點(diǎn)0分”到“指向5點(diǎn)m分”轉(zhuǎn)過(guò)的角度為30°·m60，而分針從“指向5點(diǎn)0分”到“指向5點(diǎn)m分”轉(zhuǎn)過(guò)的角度為30°·m5由題意應(yīng)有：30°·m60=5×30°-30°·m5，解得m=30013.答略.

例5 如果現(xiàn)在鐘表的時(shí)針與分針正好重合，那么再過(guò)至少多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)針與分針會(huì)成為一條直線？

析解 時(shí)針與分針同時(shí)運(yùn)動(dòng)，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，設(shè)至少x分鐘后時(shí)針與分針成為一條直線，則應(yīng)有6x-0.5x=180,解之，得x=32811.答略.

例6 8點(diǎn)后，時(shí)針與分針第一次重合在什么時(shí)間？

析解 設(shè)8點(diǎn)m分時(shí)針與分針第一次重合，8:00時(shí)，時(shí)針與分針夾角為120°，從8:00到8點(diǎn)m分時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了m·0.5°，而分針轉(zhuǎn)過(guò)了m·6°，應(yīng)有6m-0.5m=360-120，得m=48011.

例7 （2005年，江西中考）某課外學(xué)習(xí)小組在設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)鐘鐘面時(shí)，欲使長(zhǎng)方形的寬為20厘米，時(shí)鐘的中心在長(zhǎng)方形對(duì)角線的交點(diǎn)上，數(shù)字2在長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)上，數(shù)字3、6、9、12標(biāo)在所在邊的中點(diǎn)上，如圖2所示

圖2（1）問(wèn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)應(yīng)為多少？

（2）請(qǐng)你在長(zhǎng)方框上點(diǎn)出數(shù)字1的位置，并說(shuō)明確定該位置的方法；

（3）請(qǐng)你在長(zhǎng)方框上點(diǎn)出鐘面上其余數(shù)字的位置，并寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)字

析解 （1）時(shí)針、分針都是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的，設(shè)1，2，3，…，11，12這些時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C, …,K,L,

則∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠KOL=∠LOA=30°,在Rt△BOC中, 由三角函數(shù)可得OC=BC·cot∠BOC =10·cot30°=103,則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為203.

（2）作出∠LOB的平分線，交LB于A，點(diǎn)A即為數(shù)字1的位置

（3）同（2）之理可得鐘面上其余數(shù)字的位置，作圖略

以上七個(gè)例題涉及各色題型，在求解分析過(guò)程中，把“時(shí)鐘盤(pán)面構(gòu)造與基本工作原理”充分釋放出來(lái)，同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)

2 時(shí)針與分針的夾角公式

析解 平面鏡里看到的物體與實(shí)際物體左右倒置，解決此類(lèi)問(wèn)題可把寫(xiě)有數(shù)字的紙反過(guò)來(lái)，從反面透過(guò)紙去讀數(shù)，可得實(shí)際時(shí)間為21:05,選A．當(dāng)然，此題還有“作出數(shù)字關(guān)于表盤(pán)左（或右）邊界的對(duì)稱(chēng)圖去讀數(shù)”等方法

4 創(chuàng)新型鐘表問(wèn)題

例14 有兩個(gè)鐘表A、B，其中A每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快5分鐘，B每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢5分鐘現(xiàn)把A、B兩鐘表時(shí)間調(diào)成與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一致，那么過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后，A鐘表會(huì)比B鐘表快1小時(shí)？

析解A每小時(shí)比B快5+5=10分鐘，當(dāng)A鐘表比B鐘表快1小時(shí)（60分鐘）時(shí)，時(shí)間已過(guò)了60÷10=6小時(shí).

例15 萌萌有一個(gè)小鬧鐘，每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分鐘晚上9點(diǎn)睡覺(jué)時(shí)，萌萌把鬧鐘調(diào)成與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一致，她想第二天早上6點(diǎn)起床，那么鬧鈴應(yīng)當(dāng)定成幾點(diǎn)幾分？

析解 從“晚上9點(diǎn)”到“第二天早上6點(diǎn)”經(jīng)過(guò)了9小時(shí)，由于鬧鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分鐘，則標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為早上6點(diǎn)時(shí)，鬧鐘時(shí)間為6點(diǎn)9分.答略.

鐘表出了毛病走不準(zhǔn)是常事，例14、例15以此為背景命題，情境新穎，考查了學(xué)生的思維品質(zhì)與思維層次

例16 一位物理教師設(shè)計(jì)了一只新式鐘表，這只鐘表每晝夜時(shí)間長(zhǎng)為12小時(shí)，每小時(shí)長(zhǎng)100分┲擁閉庵恍率街穎硐允駒縞6點(diǎn)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為中午12點(diǎn)那么標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為下午6點(diǎn)時(shí)，這只新式鐘表顯示的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？

析解 標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每晝夜長(zhǎng)24×60=1@440分鐘，這只新式鐘表每晝夜“時(shí)間”長(zhǎng)為12×100=1@200“分鐘”，每晝夜標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是新式鐘表“時(shí)間”的1@440÷1@200=1.2倍，從“中午12點(diǎn)”到“下午6點(diǎn)”共6×60=360分鐘（標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間），相當(dāng)于新式鐘表“時(shí)間”的360÷1.2=300“分鐘”，即300÷100=3“小時(shí)”，故標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為下午6點(diǎn)時(shí)，這只新式鐘表顯示的“時(shí)間”是6+3=9“點(diǎn)”整

作者簡(jiǎn)介 苑建廣，1973～ ，中學(xué)一級(jí)教師，數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng). 勤于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究，已有四十余篇文章發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)學(xué)大世界》、《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》等十幾種數(shù)學(xué)期刊.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>