鐘表上的數(shù)學(xué)問(wèn)題

張金英

北師大版七年級(jí)上冊(cè)第四章《基本平面圖形》學(xué)習(xí)了角的概念以及角的形成后，出現(xiàn)了有關(guān)鐘表上時(shí)針和分針的夾角問(wèn)題，同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)了一定的困難.在學(xué)習(xí)了第五章《一元一次方程》列一元一次方程解決行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題后，把這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，問(wèn)題就容易解決多了.下面和大家一起探討一下這方面的問(wèn)題.

1求某一時(shí)刻鐘表上時(shí)針和分針的夾角

我們知道，鐘表一周被分成60個(gè)小格，每個(gè)小格對(duì)應(yīng)的角度為36060°=6°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1小格，即分針每分鐘轉(zhuǎn)6°.時(shí)針1小時(shí)轉(zhuǎn)6個(gè)格，即時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°.把12點(diǎn)（0點(diǎn)）線(xiàn)看做是起始線(xiàn)，把某一時(shí)刻的分鐘數(shù)乘以6°就可以得到分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度，得出分針與起始線(xiàn)的夾角，簡(jiǎn)稱(chēng)分針角，定出分針的位置.同樣，把某一時(shí)刻的時(shí)間看做時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的小時(shí)數(shù)（分針轉(zhuǎn)化為小時(shí)），小時(shí)數(shù)乘以30°，就可以得到時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度，得出時(shí)針與起始線(xiàn)的夾角，簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)針角，定出時(shí)針的位置.這時(shí)，再計(jì)算分針角與時(shí)針角的差（較大的角減去較小的角），就可以得到分針與時(shí)針的夾角.此方法好處在于省去了畫(huà)鐘表確定時(shí)針和分針位置的步驟，易于理解，計(jì)算簡(jiǎn)便，符合七年級(jí)學(xué)生的學(xué)情.

例1求7點(diǎn)22分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角

解先求分針角22×6°=132°，再求時(shí)針角把7點(diǎn)22分轉(zhuǎn)化為72260小時(shí)，72260×30°=221°，221-132=79°，所以7點(diǎn)22分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是79°.

說(shuō)明分針與時(shí)針的夾角是指小于或等于平角，所以當(dāng)時(shí)針角與分針角的差大于180°時(shí)，可以用360°減去它們的差，就得到分針與時(shí)針的夾角.

例2求2點(diǎn)52分時(shí)，分針與時(shí)針的夾角

解分針角52×6°=312°，時(shí)針角25260×30°=86°312°-86°=226°，

226°﹥180°，那么，2點(diǎn)52分時(shí)，分針與時(shí)針的夾角就是360°-226°=134.

2知道分針與時(shí)針的夾角，求時(shí)間

鐘表上，分針和時(shí)針是同方向轉(zhuǎn)動(dòng)的，分針轉(zhuǎn)速快，每小時(shí)轉(zhuǎn)360°，時(shí)針轉(zhuǎn)速慢，每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，鐘表上分針和時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)就形成了數(shù)學(xué)上的追及問(wèn)題.

例3經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間分針與時(shí)針重合一次？

分析分針與時(shí)針重合一次指的是，它們從同一個(gè)位置同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)一圈（360°）.

解設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)分針和時(shí)針重合一次，

根據(jù)題意得360x-60×=360，

解得x=1211.

答：經(jīng)過(guò)1211小時(shí)分針比時(shí)針重合一次.

例4在2～3之間，何時(shí)分針與時(shí)針的夾角為27°？

分析2點(diǎn)時(shí)，分針指向12，時(shí)針指向2，此時(shí)分針與時(shí)針的夾角為60°.若分針與時(shí)針的夾角為27°，27°<60°，分兩種情況：時(shí)針在前27°時(shí)和分針在前27°時(shí).

解設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)分針與時(shí)針的夾角為27°.

1）當(dāng)時(shí)針在前27°時(shí)，由題意得

30x+60=360x+27，

解得x=110，

110小時(shí)=6分鐘.

2）當(dāng)分針在前27°時(shí)，由題意得

30x+60=360x-27，

解得x=29110，

29110小時(shí)=15911分鐘.

答：在2點(diǎn)6分或2點(diǎn)15911分時(shí)分針與時(shí)針的夾角為27°.

例5在1～2之間，何時(shí)分針與時(shí)針的夾角為90°？

分析1點(diǎn)時(shí)，分針指向12，時(shí)針指向1，此時(shí)分針與時(shí)針的夾角為30°.若分針與時(shí)針的夾角為90°，90°>30°，分兩種情況：分針在時(shí)針前90°時(shí)或分針在時(shí)針前270°.

解設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)分針與時(shí)針的夾角為90°.

1）當(dāng)分針在時(shí)針前90°時(shí)，由題意得

30x+30=360x-90，

解得x=411，

411小時(shí)=21911分鐘.

2）當(dāng)分針在時(shí)針前270°，

由題意得

30x+30=360x-270，

解得x=1011，

1011小時(shí)=54611分鐘.

答：在1點(diǎn)21911分或1點(diǎn)54611分時(shí)分針與時(shí)針的夾角為90°.

點(diǎn)評(píng)解決知道夾角求時(shí)間的問(wèn)題，一般是先求出時(shí)針和分針的起始的夾角，分清所求時(shí)間的夾角與起始夾角的大小關(guān)系，當(dāng)起始夾角大于所求時(shí)間的夾角時(shí)，分時(shí)針在前時(shí)和分針在前時(shí)兩種情況列方程；當(dāng)起始夾角小于所求時(shí)間的夾角時(shí)，分針在時(shí)針前α°時(shí)或分針在時(shí)針前（360°-α°）兩種情況列方程.