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    鐘面上的數(shù)學(xué)問(wèn)題

    2011-08-25 06:13:38733000甘肅省武威第十三中學(xué)張曉輝
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年18期
    關(guān)鍵詞:小格時(shí)針分針

    733000 甘肅省武威第十三中學(xué) 張曉輝

    鐘面上的數(shù)學(xué)問(wèn)題

    733000 甘肅省武威第十三中學(xué) 張曉輝

    鐘面行程問(wèn)題是研究鐘面上的時(shí)針和分針關(guān)系的問(wèn)題.在鐘面上每針都沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng),但因速度不同總是分針追趕時(shí)針,或是分針超越時(shí)針的局面,因此常見(jiàn)的鐘面問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題或相遇問(wèn)題來(lái)解決.

    1 時(shí)針與分針的重合問(wèn)題——可轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題解決

    鐘面上除了12點(diǎn)到1點(diǎn)這一時(shí)段里分針一開(kāi)始就領(lǐng)先時(shí)針跑在前面不會(huì)與時(shí)針重合外,其它時(shí)段,分針總能在某一時(shí)刻追上時(shí)針并與時(shí)針正好重合.這樣,就形成了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題:時(shí)針與分針究竟在幾時(shí)幾分重合?

    我們就可以將此題理解成跑得快的分針在后面追跑得慢的時(shí)針,這樣,時(shí)針與分針的重合問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了追擊問(wèn)題.

    問(wèn)題1 3時(shí)多少分時(shí),時(shí)針與分針重合?

    分析 這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題,3時(shí)分針指著12,時(shí)針指著3,分針與時(shí)針相距5×3=15小格(90°).分針每分鐘走 1 小格(6°),時(shí)針每分鐘走小格(0.5°).要使分針與時(shí)針重合,分針要比時(shí)針多走15小格(90°).根據(jù)追及問(wèn)題中的速度差×追及時(shí)間=路程差列式即可.

    圖1

    解 設(shè)分針到x分時(shí),時(shí)針與分針重合.

    根據(jù)題意,得

    問(wèn)題2 一晝夜時(shí)針和分針能重合多少次?

    解析 如果我們把零點(diǎn)看作是重合的,那么12點(diǎn)、24點(diǎn)就不算重合,否則就重復(fù)計(jì)數(shù)了.這樣答案就很清楚了:從1點(diǎn)開(kāi)始的每一整點(diǎn)開(kāi)始,到下一整點(diǎn),都是分針追趕時(shí)針,并且在一定的時(shí)刻一定會(huì)相遇.24小時(shí)內(nèi),時(shí)針和分針重合22次,既不是24次,也不是23次.你可以轉(zhuǎn)動(dòng)一只手表來(lái)檢驗(yàn)一下.

    方法總結(jié)

    2 時(shí)針與分針的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題——可轉(zhuǎn)化為相遇問(wèn)題解決

    時(shí)針與分針正好處在某一數(shù)字的兩邊,并且與這一數(shù)字所在軸線形成的夾角相等,我們就說(shuō):此時(shí)時(shí)針與分針關(guān)于某一數(shù)字對(duì)稱(chēng).

    顯然,對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中時(shí)針與分針的位置關(guān)系與重合問(wèn)題不完全相同,重合問(wèn)題中分針追到了時(shí)針,而對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中分針并沒(méi)有追到時(shí)針.如果仍用重合問(wèn)題的解題思路,本題無(wú)法解決.怎么辦?認(rèn)真觀察鐘面,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),分針與時(shí)針關(guān)于某一數(shù)字對(duì)稱(chēng)的情形,都是分針從數(shù)字12出發(fā),追到快接近這個(gè)數(shù)字的時(shí)候,此時(shí),分針離表示整點(diǎn)的數(shù)字有多遠(yuǎn),時(shí)針就正好離開(kāi)這個(gè)數(shù)字有多遠(yuǎn),如果時(shí)針倒過(guò)來(lái)行走相同時(shí)間,就正好與分針在分針現(xiàn)在所在的這一位置相遇.這樣,時(shí)針與分針的重合問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了相遇問(wèn)題.

    問(wèn)題3 5點(diǎn)過(guò)多少分時(shí),時(shí)針和分針離“5”字的距離相等,并且在“5”的兩邊?

    分析 假設(shè)5點(diǎn)以后,時(shí)針以相反的方向行走,時(shí)針和分針相遇的時(shí)刻就是本題所求的時(shí)刻.這就變成了相遇問(wèn)題,兩針?biāo)芯嚯x和是25小格(150°).

    圖2

    解 設(shè)經(jīng)過(guò)x分時(shí),時(shí)針和分針離“5”字的距離相等,并且在“5”的兩邊.

    根據(jù)題意,得

    方法總結(jié)

    3 時(shí)針與分針的夾角問(wèn)題——分多種情況綜合考慮

    鐘面上時(shí)針與分針不停地走動(dòng),它們之間的關(guān)系也在不停地在變化,就會(huì)出現(xiàn)重合,銳角,直角,鈍角,平角等情況.于是,就出現(xiàn)了下列幾種求角度的趣題:

    3.1 求某一時(shí)刻時(shí)針與分針夾角的度數(shù)

    問(wèn)題4 9時(shí)35分,時(shí)針與分針的夾角是多少度?

    圖3

    分析 我們可以將9時(shí)作為初始位置,9時(shí)35分時(shí),分針指向7,分針經(jīng)過(guò)了35小格,時(shí)針走了35分鐘,走了×35格,分針走的格數(shù)加上時(shí)針與分針的夾角的格數(shù),正好等于9對(duì)應(yīng)的格數(shù)加上時(shí)針35分鐘走的格數(shù).

    解 設(shè)9時(shí)35分,時(shí)針與分針的夾角是x度.

    答:9時(shí)35分,時(shí)針與分針的夾角是77.5°.

    方法總結(jié)

    一般地,時(shí)針與分針在某一時(shí)刻m時(shí)n分的夾角x,

    3.2 求時(shí)針與分針何時(shí)成直角

    問(wèn)題5 在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間,時(shí)針與分針在什么時(shí)刻相互垂直?

    圖4

    分析 7點(diǎn)時(shí)分針指向12,時(shí)針指向7,分針在時(shí)針后面5×7=35(格).時(shí)針與分針垂直,即時(shí)針與分針相差15格,在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間,有兩種情況:

    (1)分針在時(shí)針后面15格.從7點(diǎn)開(kāi)始,分針要比時(shí)針多走35-15=20(格).

    解 設(shè)從7點(diǎn)開(kāi)始,經(jīng)過(guò) x分,時(shí)針與分針相互垂直.

    根據(jù)題意,得

    (2)分針在時(shí)針前面15格.從7點(diǎn)開(kāi)始,分針要比時(shí)針多走35+15=50(格).

    根據(jù)題意,得

    問(wèn)題6 時(shí)針與分針在11點(diǎn)幾分時(shí)相互垂直?

    分析 11點(diǎn)時(shí),時(shí)針在分針前11×5=55格,時(shí)針與分針要相互垂直,分針須在時(shí)針后15格或45格.從11點(diǎn)開(kāi)始,分針要比時(shí)針多走55-15=40(格),或55-45=10(格).

    解 設(shè)時(shí)針和分針在11點(diǎn)x分時(shí)相互垂直.

    根據(jù)題意,得

    方法總結(jié)

    一般地,時(shí)針與分針在m時(shí)x分成直角(m是整數(shù)).

    3.3 求時(shí)針與分針何時(shí)成平角

    問(wèn)題7 在3點(diǎn)與4點(diǎn)之間,時(shí)針和分針在什么時(shí)候反向成一直線?

    分析 3點(diǎn)時(shí)分針指向12,時(shí)針指向3,分針在時(shí)針后面5×3=15(格).時(shí)針與分針?lè)聪虺梢恢本€,即時(shí)針與分針成180°角.從3點(diǎn)開(kāi)始,分針要比時(shí)針多走15+30=45(格).

    圖5

    解 設(shè)從7點(diǎn)開(kāi)始,經(jīng)過(guò)x分,時(shí)針與分針?lè)聪虺梢恢本€.

    根據(jù)題意,得

    問(wèn)題8 時(shí)針和分針在10點(diǎn)幾分反向成一直線?

    分析 10點(diǎn)時(shí),時(shí)針在分針前50格,時(shí)針和分針?lè)聪?,時(shí)針須在分針前30格.從10點(diǎn)開(kāi)始,分針要比時(shí)針多走50-30=20小格.

    解 設(shè)10點(diǎn)x分時(shí)針和分針?lè)聪颍?/p>

    根據(jù)題意,得

    方法總結(jié)

    一般地,時(shí)針與分針在m時(shí)x分在一條直線上,若6點(diǎn)以前:x-x=5m+30(0≤m<6,m為整數(shù)),若6點(diǎn)以后為整數(shù)).

    20110715)

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